Comentarios de Anweshi
El punto esencial es lo que mencionó Emerton, es decir, la analogía con el teorema de Minkowski sobre campos de números con ramificación. El principio básico es que "la aritmética es geometría". Los anillos numéricos son en cierto sentido objetos de dimensión cero, las curvas elípticas objetos de dimensión única y las variedades abelianas corresponden a dimensiones superiores. Así que tenemos el teorema de Minkowski. Y nos preguntamos, ¿podemos extenderlo a dimensiones superiores? Tate, después de establecer la teoría correctamente como en su famoso artículo de estudio sobre la aritmética de las curvas elípticas, lo demostró de forma bastante trivial para las curvas elípticas (como menciona Emerton). Ahora la tarea es para las variedades abelianas.
Llega Fontaine y demuestra que efectivamente es así. Pero la prueba resulta ser mucho más complicada de lo esperado. Construyó toda una "teoría Fontaine" alrededor de esto. Se adentra en $p$ - la teoría de Hodge, $p$ -representaciones de Galois adicas, etc. Se dice que trabajó en ello durante unos 15 años de forma aislada. El primer gran éxito de su teoría fue este teorema, y más tarde ganó popularidad. Ahora es una de las principales corrientes de investigación de la geometría aritmética.
Referencias:
- Neukirch, Algebraic number theory, para la filosofía general de que "la aritmética es geometría".
- Notas del curso de Robert Coleman sobre La teoría del functor misterioso de Fontaine
- La exposición de Bourbaki de Bearnadette Perrin-Riou. L funciones p-ádicas de representaciones p-ádicas, Asterisco 229, (1995).
- Tate, The Arithmetic of Elliptic Curves, Survey Article, Inventiones.
También podría valer la pena echar un vistazo a los artículos sobre esquemas de grupos planos finitos en el volumen Geometría aritmética de Cornell y Silverman, y en el volumen Formas modulares y el último teorema de Fermat por Cornell, Silverman y Stevens. Todo esto está íntimamente relacionado con ellos, como menciona Emerton. De hecho, se puede encontrar un punto de vista particular de Fontaine en Esquemas de grupos planos finitos.
También podría haber una explicación motivacional más sencilla, sin entrar en los entresijos de la teoría de Fontaine. La razón por la que lo pienso es la siguiente. He oído la respuesta de que no hay ninguna curva elíptica sobre $F_1$ porque a partir de las funciones zeta los motivos resultan ser Tate mixto. Pero, por otro lado, mi propia "prueba" de este hecho fue que si hubiera una curva elíptica o variedad abeliana sobre $F_1$ sería extensible a $Spec\ Z$ y allí por el teorema de Fontaine el único esquema abeliano es el trivial. Desde entonces me he preguntado si es posible sustituir los argumentos de la teoría de Fontaine por los motivacionales.
Emerton me aclaró a este respecto: Desde el punto de vista de un teórico de los números, la teoría de Hodge p-ádica es uno de los ingredientes clave de la teoría de los motivos, por lo que estos argumentos son motivacionales, en cierto sentido. (Tal vez se pueda decir que la teoría de Hodge p-ádica codifica las propiedades aritméticas de los motivos de forma análoga a como la teoría de Hodge codifica las propiedades geométricas y analíticas).
Así, por la respuesta de Emerton, la teoría de Fontaine parece ser una parte más profunda de los motivos. Sin embargo, este teorema de "ninguna variedad abeliana sobre Z" de Fontaine fue la primera aplicación importante de la teoría de Fontaine. Imagino que, si algún resultado de la teoría de Fontaine tuviera que ser sustituido por los argumentos motivacionales habituales, éste debería ser el primer candidato.
Antes de detenerme, debo mencionar la íntima conexión que todo esto tiene con la teoría de Iwasawa. La teoría de Fontaine está muy enredada con ella, como se pudo comprobar en la exposición de Perrin-Riou. Sin embargo, los más entendidos deberían aclarar esto.
Este podría ser un lugar adecuado para mencionar la conferencia en honor a Fontaine. Está a punto de retirarse, después de sus grandes logros.
Comentario de Ilya
Creo que esto debería estar efectivamente relacionado con los motivos. (actualización: creo que otros han aportado buenas referencias).
Comentarios de Emerton
(1) Hubo aplicaciones anteriores de los resultados de Fontaine sobre esquemas de grupos planos finitos; por ejemplo, desempeñaron un papel en la prueba de Mazur de la acotación de la torsión de las curvas elípticas sobre $\mathbb Q$ . Digo esto sólo para subrayar que la teoría de Fontaine no se desarrolló realmente de forma aislada. Su teoría es profunda y técnica, y la gente tardó en asimilarla. Pero la teoría de los esquemas de grupos planos finitos y $p$ -Los grupos divisibles tienen una larga historia entrelazada con la aritmética: hay resultados que se remontan a Oda, Raynaud y Tate; Fontaine los generalizó; fueron utilizados por Mazur en su trabajo, y por Faltings; Fontaine los generalizó aún más para $p$ -la teoría de Hodge (una teoría cuya existencia fue en parte conjeturada anteriormente por Grothendieck, motivada, entre otras cosas, por el trabajo de Tate); ... . No hay que pensar que estas ideas son esotéricas (a pesar de la etiqueta de "magia negra"); están y siempre han estado en la vanguardia de la interacción entre la geometría y la aritmética, de una u otra forma. (Como otro ejemplo, la teoría de Fontaine también está estrechamente relacionada con temas anteriores de la obra de Dwork).
(2) No estoy seguro de que haya ningún tipo de habitual argumento motivacional. La frase motivo evoca muchas imágenes diferentes en las mentes de las personas, pero una forma de pensar en lo que motivador significa que es el estudio de la geometría a través de estructuras sobre la cohomología. Desde este punto de vista, $p$ -la teoría de Hodge es ciertamente una herramienta natural e importante.
Estos son algunos documentos que ilustran $p$ -el razonamiento teórico de Hodge en lo que podría considerarse un contexto motivacional:
Grothendieck, Un teorema sobre los homomorfismos de esquemas abelianos Un papel maravilloso. Aunque los resultados son esencialmente recuperados y generalizados por el trabajo de Delignes en su documento Hodge II, da una fantástica ilustración de cómo $p$ -Los métodos teóricos de Hodge pueden utilizarse para deducir teoremas geométricos.
Kisin y Wortmann, Una nota sobre los motivos de Artin
Kisin y Lehrer, Valores propios de Frobenius y números de Hodge
James Borger, Anillos lambda y el campo con un elemento
Se han elegido estos tres para ilustrar cómo $p$ -Los argumentos de la teoría de Hodge pueden utilizarse para hacer deducciones geométricas/motivadas. El artículo de Borger es también un intento de proporcionar en parte los fundamentos de la teoría de los esquemas sobre el campo de un elemento, e ilustra cómo $p$ -la teoría de Hodge juega un papel importante en su estudio.
Maulik, Poonen, Voisin, Grupos de Neron-Severi bajo especialización un documento excelente, que ilustra la posibilidad de utilizar $p$ -Adiciones teóricas de Hodge o argumentos teóricos de Hodge clásicos para hacer deducciones geométricas. (Se trata del mismo tipo de complementariedad que en el artículo de Grothendieck antes citado, comparado con el Hodge II de Deligne).
Comentarios de Anweshi.
@Emerton, o cualquier otra persona: Si hay algo que no tiene sentido en mi incursión en las imágenes "motivacionales", o algo que no tiene sentido, por favor, siéntase libre de borrar y editar de la manera que desee.
una pregunta más de Thomas:
Las grandes referencias citadas anteriormente me permiten preguntar sobre el estado actual de las numerosas conjeturas y cuestiones abiertas en Encuesta de Illusie Por ejemplo, teoremas de finitud, coeficientes cristalinos, semiestabilidad geométrica,... ?
- Comentario de ilya: Creo que sería muy útil que alguien publicara una pregunta en la línea de lo que sugiere Thomas, sobre todo completando algunos antecedentes del documento de Illusie (yo lo haría, pero no tengo el documento en sí).
** Comentario de Anweshi:** La teoría de Fontaine utiliza mucho la cohomología cristalina. Por ejemplo, véase las notas de Robert Coleman mencionadas anteriormente.
