Un problema de triángulos

Question

En un triángulo, la suma de dos lados es $x$ y el producto de los mismos dos lados es $y$ . Si $x^2 - c^2=y$ donde c es el tercer lado, entonces ¿cuál es la relación entre el inradio y el circunradio del triángulo?

Creo que he encontrado la mitad: si los dos lados del triángulo son $a$ y $b$ entonces $x=a+b$ y $y=ab$ . Por lo tanto, $x^2 - c^2 = y \Rightarrow (a+b)^2 - c^2 = ab \Rightarrow a^2 + b^2 +ab = c^2.$ Pero $a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta=c^2$ (ya que c es el tercer lado), por lo tanto $\theta= 120^{\circ} = \frac{2\pi}{3}$ .

Bien, ¿y qué pasa con el inradio y el circunradio?

Answer 1

$a+b=x$ , $a.b=y$ y se encuentra $m(\widehat{ACB})=\frac{2\pi }{3}$ desde $% x^{2}-c^{2}=y$ . Entonces el área del triángulo es $S(ABC)=\frac{1}{2}ab\sin (% \frac{2\pi }{3})=\frac{abc}{4R}=\frac{a+b+c}{2}r$ , donde $R$ y r son el circunradio y el inradio, respectivamente. Entonces se puede calcular fácilmente $R=% \frac{c}{\sqrt{3}}$ y $r=\frac{\sqrt{3}y}{2(x+c)}$ . Finalmente, obtenemos $\frac{% r}{R}=\frac{3y}{2c(x+c)}$ .

Answer 2

Tenemos ecuaciones para el inradio $r$ y el circunradio $R$ , a saber $r=\dfrac{\triangle}{s}$ et $R=\dfrac{abc}{4rs}$ donde $\triangle$ denota el área del triángulo y $s$ denota el semiperímetro. Por lo tanto, tenemos $$\frac{r}{R}=\frac{4r^2s}{abc}=\frac{4\triangle^2}{sabc}$$ Tenemos $c=\sqrt{x^2-y}$ , $s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)=\dfrac{1}{2}(x+\sqrt{x^2-y})$ et $\triangle=\dfrac{1}{2}ab\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{4}y$ . Conectando todo, obtenemos

$$\frac{r}{R}=\frac{3y^2}{4(\frac{1}{2}(x+\sqrt{x^2-y})y(\sqrt{x^2-y}))} =\frac{3y}{2(x\sqrt{x^2-y}+x^2-y)}$$