Informática $\lim_{a\to\infty}\operatorname{erf}(a+z)$

Question

Dejemos que $z\in\overline{\mathbb C}$ . Quiero calcular $$L \equiv \lim_{\mathbb{R} \ni a \to \infty}\operatorname{erf}(a+z).$$

¿Puedo utilizar el hecho de que $z + \infty = \tilde{\infty}$ donde $\tilde{\infty}$ es el complejo infinito para concluir que $$L=\displaystyle\lim_{\mathbb{R} \ni a\to\infty}\operatorname{erf}a=1?$$

Answer 1

Se pueden masajear las ecuaciones (5) a (7) de [1] para demostrar que para cualquier número real $x$ y $y$ $$ \operatorname{erf}(x+iy) = \operatorname{erf}(x) + f(x,y) $$ donde $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x,y) = 0$ para cada $y$ . De ello se desprende que $\lim_{x \rightarrow \infty} \operatorname{erf}(x+iy) = 1$ , según se desee.

[1] Salzer, H. E. " Fórmulas para calcular la función de error de una variable compleja ." Tablas matemáticas y otras ayudas al cálculo 5.34 (1951): 67-70.

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Para la posteridad, incluyo la parte pertinente de [1] a continuación. Nótese que el autor define $\Phi(Z) \equiv \int_0^Z e^{-u^2} du$ (es decir, la integral de la función de error sin el multiplicador escalar habitual).