Dada una solución continua $f:[a,b]\to\Bbb R,$ ¿cómo demostrar que su conjunto cero tiene un mínimo si no es vacío?

Question

Dejemos que $f : [a, b] \Bbb R$ sea continua, y supongamos que $Z = \{x [a, b] : f(x) = 0\}$ es no vacía. Demostrar que $Z$ tiene un elemento más pequeño.

Sé por teorema que todo subconjunto no vacío de $\Bbb Z$ que está acotado arriba tiene un máximo y por corolario, todo subconjunto no vacío de $\Bbb Z$ que está acotado por debajo tiene un mínimo. ¿Cómo utilizo aquí el principio de ordenación?

Answer 1

Desde $\;Z\subset [a,b]\;$ está acotado tiene un infimo, digamos $\;\omega\;$ . Esto significa que para cualquier $\;n\in\Bbb N\;$ existe $\;z_n\in Z\;$ s.t.

$$\omega\le z_n<\omega+\frac1n\stackrel{\text{apply squeeze th.}}\implies z_n\xrightarrow[n\to\infty]{}\omega$$

Utilizando la continuidad obtenemos

$$0=\lim_{n\to\infty}f(z_n)=f(\omega)\implies \omega\in Z\;,\;\;\text{and we're done}$$

Answer 2

Usted no puede utilizar el principio de buen orden, ya que no sabes que $Z$ está bien ordenado, ni siquiera necesariamente bien ordenable.

Más bien, lo que debe demostrar es que $\inf Z\in Z$ --es decir, el mayor límite inferior de $Z$ (que existe porque...?) es un elemento de $Z.$ La continuidad es esencial, aquí.

Answer 3

En una función continua, la imagen inversa de un conjunto cerrado es cerrada. ${0}$ es un conjunto cerrado. Así que su inverso, el conjunto cero, también es cerrado y acotado. Así que debe tener un máximo y un mínimo.