¿Podemos recuperar a todos los menores de la matriz de algunos de ellos?

Question

Dejemos que $k,n$ sean números naturales, $1<k<n$ . Supongamos que tenemos un "desconocido" invertible $n \times n$ matriz $A$ sobre un campo de característica cero. (no conocemos las entradas de $A$ ).

¿Podemos recuperar todos los $k$ -menores de $A$ de un fijo, ordenado ¿una lista parcial de ellos?

Es decir, supongamos que nos dan los valores de $r$ de los menores, es decir, se nos da una indexado lista de $r$ números, y se nos dice qué número corresponde a cada menor. ¿Podemos recuperar los otros menores?

Comentario:

Algunas condiciones de no degeneración en $A$ son necesarios aquí: Al menos tenemos que suponer que $\text{rank}(A)>k$ . En caso contrario, si $\text{rank}(A)\le k$ Entonces, aunque conozcamos todos los $k$ -menores de $A$ excepto uno, no podemos recuperar el último menor desconocido.

De hecho, toma $A=\pmatrix{D&0\\ 0&0}$ donde $D$ es cualquier matriz diagonal de tamaño $k$ . No podemos recuperar el $k$ -menor correspondiente a la primera $k$ filas y columnas (que es $\det D$ ) del otro $k$ -menores (que son ceros). Este ejemplo fue sugerido por usuario1551 .

Answer 1

Sí, puedes hacerlo.

Supongamos que está interesado en $k$ -menores, lo que vas a hacer es centrarte en submatrices de $A$ de tamaño $k\times n$ eliminando $n-k$ filas. Tal $k\times n$ submatriz tiene $n\choose k$ $k$ -minores, y éstas están sujetas a lo que se conoce como ecuaciones de Plücker:

Teorema: una colección ordenada de $n\choose k$ enteros es la colección de menores máximos (ordenados lexicográficamente) de algún $k\times n$ si y sólo si estos números satisfacen un conjunto de ecuaciones polinómicas conocidas como ecuaciones de Plücker.

Contexto: véase estas notas de clase por Alexander Yong.

Prueba: véase Cálculo de Schubert por Kleiman y Lakso.

En la práctica, significa que hay un número máximo de $k$ -minores que pueden fijarse de forma independiente, tras lo cual todos los demás estarán determinados de forma única por las ecuaciones.

Ecuaciones de Plücker para $(n,k)$ puede mostrarse escribiendo Grassmannian(k-1,n-1) en Macaulay2 (el $-1$ provienen de razones proyectivas). He aquí una de estas ecuaciones para $n=6, k=3$ : $$p_{2,3,4} p_{1,3,6} -p_{1,3,4}p_{2,3,6} +p_{1,2,3}p_{3,4,6}=0$$

Como era de esperar, si todos los menores son cero excepto uno de ellos, entonces las ecuaciones de Plücker no servirán para encontrar ese, ya que las variables siempre vienen por parejas.

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Parte de esta respuesta la he tomado prestada de esta pregunta/respuesta mía que, sorprendentemente, fue preguntado sólo 10 días antes que el tuyo.