¿Por qué no son accesibles todas las categorías pequeñas?

Question

Estoy tratando de entender la noción de un categoría accesible . No es la primera vez que lo intento, pero cada vez que trato de dar sentido a la definición, me perturba la siguiente cuestión: no todas las categorías pequeñas son accesibles .

Puede encontrar una definición de categoría accesible en nLab . En resumen, una categoría C (posiblemente grande) es accesible si existe un cardinal regular $\kappa$ tal que C tiene $\kappa$ -colímites dirigidos, y que hay un conjunto de $\kappa$ -objetos compactos de modo que cada objeto C es un $\kappa$ -colímite dirigido de las cosas en este conjunto. Así, el comportamiento de la categoría C está de algún modo "controlado" por una subcategoría pequeña; a grandes rasgos, todos los objetos de C "parecen" colímitos filtrados de objetos de la subcategoría pequeña.

Cualquier categoría pequeña está, por supuesto, "controlada" por una subcategoría pequeña, es decir, ella misma, por lo que se podría pensar que todas las categorías pequeñas son accesibles. Pero no es así. La afirmación correcta es:

Una categoría pequeña es accesible si y sólo si es completa idempotente

Esto se demuestra (creo) en Adamek & Rosicki, Categorías localmente presentables y accesibles . También hay una prueba de un $\infty$ -versión de categoría de esto en Lurie's Teoría del Topo Superior .

Mi pregunta no es sobre la prueba de esta afirmación (que creo entender), sino sobre la motivación subyacente de la noción de categoría accesible. Básicamente, me gustaría una de dos cosas:

1. Hazme entender por qué es tan bueno que no todas las categorías pequeñas sean accesibles, o

2. Dime que la "categoría accesible" no es exactamente la idea correcta, y que hay una generalización de la misma que incluye todas las categorías pequeñas un caso especial.

(Nota: la clase de categorías accesibles se cierra bajo un montón de construcciones, como tomar subcategorías, o tomar funtores de una categoría pequeña fija. La generalización de 2 debería tener las mismas propiedades).

Answer 1

Para mí, la conjetura "obvia" de (2) sería una categoría cuya terminación idempotente-participante (también conocida como "terminación de Cauchy" o "envoltura de Karoubi") es accesible. Aunque no tengo un contraejemplo explícito, dudo que éstas tengan las mismas buenas propiedades. Las dos propiedades que mencionas son casos especiales de cierre bajo pseudolímites, pero el pseudolímite de una envolvente de Karoubi no es en general lo mismo que la envolvente de Karoubi del pseudolímite. Por ejemplo, dejemos que $C$ sea el "idempotente dividido a pie", que contiene dos objetos $x$ y $y$ con $y$ un repliegue de $x$ , dejemos que $F,G\colon C\to Set$ enviar $x$ a un conjunto $S$ y $y$ a un subconjunto no vacío $T\subseteq S$ con una retracción elegida $S\to T$ y que $\alpha,\beta\colon F\to G$ sean transformaciones naturales que sean iguales en $S$ pero no en todos los $T$ . Entonces el equificador de $\alpha$ y $\beta$ consiste únicamente en $y$ mientras que si $C'\subseteq C$ sólo contiene $x$ , entonces el ecuador de $\alpha$ y $\beta$ restringido a $C'$ está vacía.

Una respuesta a (1) es considerar algunas de las otras caracterizaciones de las categorías accesibles. Por ejemplo, una categoría es accesible si:

• es la categoría de $\kappa$ -funtores planos de alguna categoría pequeña a Set (para alguna $\kappa$ ), o si
• es la categoría de modelos en Conjunto de un pequeño boceto, o si
• es la categoría de modelos en Conjunto de alguna teoría lógica adecuada.

Está claro que este tipo de categorías siempre tienen idempotentes divididos.

Answer 2

Estas son sólo algunas ideas a medias, que podrían estar totalmente desviadas, y tengo un poco de prisa. Pero de todos modos, son elementos de reflexión.

Para este tipo de cuestiones es muy importante tener en cuenta al mismo tiempo cuáles son los morfismos (y las transformaciones naturales). Como dice Charles en un comentario, los morfismos estándar entre categorías accesibles son los funtores accesibles. Asumo que los funtores accesibles entre categorías accesibles pequeñas son todos los funtores, ya que las categorías accesibles pequeñas son las categorías completas idempotentes y todos los funtores preservan los retractores. También creo que los funtores de C a D, donde D es completa idempotente, son los mismos que los funtores de la terminación idempotente de C a D.

Si todo esto es cierto, entonces podríamos decir que, efectivamente, todas las categorías pequeñas son accesibles, siempre que redefinamos la noción de functor accesible de C a D como un functor accesible en el sentido ordinario entre sus terminaciones idempotentes. Esto suena artificial, pero la definición ordinaria de functor accesible no parece muy buena cuando el dominio no tiene colímites filtrados por κ para cada κ, así que quizá haya otro punto de vista sobre esta definición que generalice a la definición en términos de terminaciones idempotentes. Por ejemplo, ¿es un functor entre las terminaciones idempotentes de C y D (categorías pequeñas) lo mismo que un functor de presevaciones sobre D a presevaciones sobre C que tiene adjuntos en ambos lados?

Answer 3

Una propiedad esencial de las categorías accesibles es que si $C$ es $\kappa$ -accesible entonces también es $\lambda$ -accesible para muchos $\lambda > \kappa$ de una manera que es esencialmente independiente de $C$ . (La caracterización de estos pares $\kappa,\lambda$ es complicado, véase Adamek & Rosicky para más detalles). Por ello, el cardenal particular $\kappa$ que verifica la accesibilidad es en muchos aspectos irrelevante. Esta propiedad falla mucho sin la existencia de colímites dirigidos apropiados.

Answer 4

Esto no es realmente una respuesta completa, pero hay una conjetura obvia para (2). Consideremos las categorías para las que existe un cardinal $\kappa$ y un conjunto de $\kappa$ -objetos compactos tales que cada objeto es un $\kappa$ -dirigido colímite de cosas en este conjunto. Simplemente se elimina el requisito de que cada $\kappa$ -Existe un colímite dirigido. Esto incluye, en particular, todas las categorías pequeñas.

Parece que esta clase sigue teniendo las propiedades que has mencionado. ¿Hay alguna otra propiedad agradable que tengan las categorías accesibles que no tenga esta clase?

Answer 5

En una categoría accesible los idempotentes se dividen (el coker habitual $Cok(1, f)$ para dividir un idempotente $f$ es un colímite de un diagrama filtrante). Y cualquier categoría pequeña con idempotentes divididos es accesible.

Véase: p. 71 (puntos 2.4, 2.6) sobre

J. Adamek y J. Rosicky, Locally Presentable and Accessible Categories Cambridge: Cambridge University Press, 1994