Generalización del teorema de Strassen (Kellerer)

Question

Dejemos que $\mu$ y $\nu$ sean dos medidas de probabilidad sobre $\mathbb R^d$ con primeros movimientos finitos, es decir

$$\int_{\mathbb R^d}|x|~\mu(dx),\quad \int_{\mathbb R^d}|x|~\nu(dx) \quad <\quad +\infty.$$

$\mu$ y $\nu$ se dice que son crecientes en orden convexo, si la siguiente desigualdad se cumple para cualquier función convexa $f$ con un crecimiento lineal:

$$\int_{\mathbb R^d}f(x)~\mu(dx)\quad \le \quad \int_{\mathbb R^d}f(x)~\nu(dx).$$

Entonces el Teorema de Strassen establece que $\mu$ y $\nu$ se dice que son crecientes en orden convexo, si existe una martingala $(M,N)$ s.t. $M\sim\mu$ y $N\sim\nu$ .

Mi pregunta es la siguiente: dejemos $d=1$ y $\varepsilon\ge 0$ . ¿Cuáles son las condiciones de $\mu$ y $\nu$ para garantizar la existencia de un proceso estocástico $(M,N)$ s.t. $M\sim\mu$ , $N\sim\nu$ y

$$ M~-~\varepsilon\quad \le \quad E[N|M]\quad \le \quad M~+~\varepsilon.\quad\quad\quad\quad\quad\quad (\ast)$$

Muchas gracias por la respuesta.

Answer 1

Les animo a consultar el documento de Strassen ( http://www.jstor.org/stable/2238148 ). El resultado que citas como "teorema de Strassen" es el teorema 8 del mismo y se desprende del teorema 7, mucho más general, al igual que la extensión que buscas. Voy a esbozar un argumento:

Según el teorema 7, un acoplamiento como el que describes existe si y sólo si $\int \varphi\,d\nu \le \sup \int \varphi(y)\gamma(dx,dy)$ para cada continuo $\varphi$ de crecimiento lineal, donde el supremum es sobre todas las medidas de probabilidad $\gamma$ en $\mathbb{R}^2$ de la forma $\gamma(dx,dy) = \mu(dx)K_x(dy)$ donde el núcleo $K$ satisface $\left|\int y\,K_x(dy) - x\right| \le \epsilon$ para $\mu$ -a.e. $x$ . Utilizando un argumento estándar de selección medible, esto es equivalente a la afirmación de que $\int \varphi\,d\nu \le \int h_{\varphi}\,d\mu$ para cada continuo $\varphi$ de crecimiento lineal, donde $h_{\varphi}(x) := \sup_{\eta \in M(x)}\int\varphi\,d\eta$ y donde $M(x) := \sup\left\{\eta : \left|\int y\,\eta(dy) - x\right| \le \epsilon\right\}$ .

Para simplificar aún más esto, encontramos una expresión mejor para $h_{\varphi}$ . Tenga en cuenta en primer lugar que $h_{\varphi}(x) \ge \int\varphi\,d\delta_z \ge \varphi(z)$ para $|z-x| \le \epsilon$ Así que $h_{\varphi}(x) \ge \sup_{|z-x| \le \epsilon}\varphi(z)$ . Por otro lado, dejar que $\varphi^c$ denotan la envolvente cóncava, para cada $\eta \in M(x)$ La desigualdad de Jensen da como resultado

$\int\varphi\,d\eta \le \int\varphi^c\,d\eta \le \varphi^c\left(\int y\,\eta(dy)\right) \le \sup_{|z-x| \le \epsilon}\varphi^c(z)$ .

Así, $h_{\varphi}(x) \le \sup_{|z-x| \le \epsilon}\varphi^c(z)$ . Es un ejercicio sencillo demostrar (1) que $h_{\varphi}$ es cóncava y (2) que $x \mapsto \sup_{|z-x| \le \epsilon}\varphi^c(z)$ es cóncava y por tanto igual a la envolvente cóncava de $x \mapsto \sup_{|z-x| \le \epsilon}\varphi(z)$ . Por lo tanto, $h_{\varphi}(x) = \sup_{|z-x| \le \epsilon}\varphi^c(z)$ .

Por último, encontramos que el acoplamiento de su existe si y sólo si

$\int\varphi(x)\,\nu(dx) \le \int \sup_{|z-x| \le \epsilon}\varphi(z)\,\mu(dx)$

para toda función cóncava $\varphi$ de crecimiento lineal.