Ecuación de una línea que pasa a mitad de camino entre dos puntos (en otras palabras, divide el espacio)

Question

¿Existe una manera formalmente adecuada de encontrar la línea entre dos puntos?

Con esto no me refiero a la línea que une los dos puntos, me refiero a una línea que se aleja la misma distancia del punto 1 y del punto 2.

Para decirlo de otra manera, quiero encontrar la ecuación de una línea que divide el plano en dos partes iguales, donde cada uno de los dos puntos está a la misma distancia de la línea.

He hecho un dibujo. En este dibujo, ¿cómo encuentro la línea púrpura?

Puede o no ser relevante, pero lo pregunto porque estoy tratando de aprender sobre las máquinas de vectores de apoyo.

Answer 1

Cada punto de la línea tiene la misma distancia del punto $x_1=(a,b)$ a partir del punto $x_2=(c,d)$ . Si decimos esto en ecuaciones obtenemos: $$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = (x-c)^2 + (y-d)^2 $$ ampliar

$$ x^2 -2ax + a^2 + y^2 - 2by +b^2 = x^2 -2cx +c^2 + y^2 -2dy +d^2 $$ podemos simplificar y obtener la ecuación final $$ 2x(a-c) + 2y(b-d) +c^2 + d^2 -a^2 - b^2 = 0 $$

---

editar para explicar con más detalle la primera igualdad

Si tienes dos puntos con coordenadas $X=(x,y)$ y $A=(a,b)$ que la distancia entre ellos es igual a $$ \text{dist}(X,A)=\sqrt{ (x-a)^2 + (y-b)^2 } $$ Esto es básicamente el teorema de Pitágoras. Dibuja el triángulo rectángulo con los puntos $A,B,(x,b)$ que su hipotenusa es el segmento de línea que une $A,B$ . El teorema de Pitágoras calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

En el punto de la pregunta en la línea, denota $X=(x,y)$ tiene que tener la misma distancia de $A$ así como de $B$ así que $$ \text{dist}(X,A) = \text{dist}(X,B) $$ Esta es casi esa ecuación, sólo hay que cuadrarla.

Answer 2

La línea pasa por el punto medio del segmento $x_1x_2$ que puedes encontrar promediando las coordenadas. Su pendiente es el recíproco negativo de la pendiente del segmento. Ahora puedes utilizar la forma de la pendiente del punto.

Answer 3

Método uno (geometría): Dibuja el círculo, $C_1$ centrado en $x_1$ de paso $x_2$ y el círculo $C_2$ centrado en $x_2$ de paso $x_1$ . Estos dos círculos tienen dos intersecciones, $y_1, y_2$ . La línea que pasa por estos dos puntos es la bisectriz del segmento formado por $x_1$ y $x_2$ .

Método dos (algebraico): Sabemos que un punto de la línea deseada es el punto medio entre las dos líneas, $m = \frac{x_1+x_2}{2}$ y que la pendiente es $-1/\frac{x_{2(y)} - x_{1(y)}}{x_{2(x)} - x_{1(x)}}$ donde el subíndice " $(x)$ " significa el $x$ -del punto y de forma similar para " $(y)$ ". Es decir, la pendiente deseada es perpendicular a la subida sobre el recorrido de los puntos dados. Suponiendo que la pendiente entre $x_1$ y $x_2$ no es cero, por lo que la pendiente de la línea deseada no es infinita, la pendiente resultante es $-\frac{x_{2(x)} - x_{1(x)}}{x_{2(y)} - x_{1(y)}}$ . Poniendo esto en forma de pendiente puntual $$ \frac{y-m_{(y)}}{x-m_{(x)}} = -\frac{x_{2(x)} - x_{1(x)}}{x_{2(y)} - x_{1(y)}}$$ y resolver esto para $y$ es trivial.

Answer 4

Dejemos que $(x_1,y_1)$ sean las coordenadas del punto $x_1$ y $(x_2,y_2)$ sean las coordenadas del punto $x_2$ .

El gradiente $m$ de la línea que los conecta será
$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Como la línea púrpura será perpendicular a la línea que une los puntos $x_1$ y $x_2$ (porque todos los puntos de la línea púrpura serán equidistantes de los puntos $x_1$ y $x_2$ ), su gradiente $m'$ será $$m'=-\frac{1}{m}=\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}$$

Ahora el punto en el que la línea púrpura se cruzará con la línea que une $x_1$ y $x_2$ será el punto medio entre $x_1$ y $x_2$ :- $$\left(x_1+\frac{1}{2}(x_2-x_1),y_1+\frac{m}{2}(x_2-x_1)\right)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

Podemos encontrar el intercepto $c$ de la línea púrpura como sigue:- $$\frac{y_1+y_2}{2}=m'\frac{x_1+x_2}{2}+c=\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}\frac{x_1+x_2}{2}+c \\\Rightarrow c=\frac{(y_2^2-y_1^2)-(x_1^2-x_2^2)}{2(y_2-y_1)}=\frac{(x_2^2+y_2^2)-(x_1^2+y_1^2)}{2(y_2-y_1)}$$

Una vez hallados el intercepto y el gradiente, la ecuación de la línea púrpura puede expresarse como $$y=\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}x+\frac{(x_2^2+y_2^2)-(x_1^2+y_1^2)}{2(y_2-y_1)}$$