Según otros materiales que he leído, la densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua debe ser a su vez continua. ¿Es esto correcto? Si lo es, no entiendo por qué sería así, ¿por qué la probabilidad no puede cambiar bruscamente?
Michael Chernick pide un ejemplo de una distribución de probabilidad con una densidad que sea discontinua en todas partes.
Como se ha comentado en esta pregunta existe un conjunto medible $A \subset \mathbb{R}$ tal que para cada intervalo $I$ tenemos $0 < m(A \cap I) < m(I)$ y además $m(A) < \infty$ . Entonces $f(x) = \frac{1}{m(A)} 1_A(x)$ es una función medible no negativa con $\int_\mathbb{R} f(x)\,dx = 1$ por lo que se puede tomar como la densidad de una distribución de probabilidad continua. $f$ no es continua en ninguna parte porque todo intervalo contiene puntos de $A$ y $A^C$ . Además, cualquier función $g$ con $f=g$ a.e. tampoco es continua en ninguna parte.
(+1) De forma más general, una construcción similar a la siguiente debería funcionar: Sea $f$ sea una función de densidad de probabilidad continua en $\mathbb R$ . Tome $g = f \cdot 1_{(\mathbb R \setminus \mathbb Q)}$ .
@cardinal: Esto funciona, por supuesto, pero sólo señalar que la función en mi respuesta es en cierto sentido "peor", en vista de mi última frase. Para tu función, puedes modificarla sobre un conjunto nulo (lo que realmente no la cambia como función de densidad) y obtener algo en todas partes continuo. En el caso de la mía, por mucho que la modifiques sobre conjuntos nulos, sigue siendo continua en ninguna parte.
Aunque es válido no creo que la densidad triangular dada por ncmathsadist sea un buen ejemplo. La densidad U[0,1] también es discontinua debido a la subida abrupta en x=0 y la bajada en x=1.Pero ambas densidades son continuas dentro de su dominio. Creo que un ejemplo mejor sería uno con una discontinuidad en su dominio. Consideremos la densidad f(x)=2x para 0<=x<=1/2
y f(x)=(5-2x)/16 para 1/2
Ciertamente, una densidad puede tener muchas discontinuidades de este tipo. Pero, ¿puede alguien dar un ejemplo de una distribución de probabilidad real con una densidad que sea discontinua en todas partes?
En cierto sentido, todo Las distribuciones de probabilidad que son absolutamente continuas tienen (a versión de) una densidad que es discontinua en todas partes en el cierre de su soporte.
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Si no recuerdo mal, hay una restricción a un máximo de discontinuidades contables.
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Al menos una discontinuidad es común en las densidades de práctico importancia.
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@DrewChristianson: Tal vez usted está pensando en la probabilidad distribución funciones. Una función de densidad puede ser incluso discontinua en todas partes.
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La distribución "continua" significa que la fdc (función de distribución acumulativa) es continua. Esto no significa que la densidad sea continua, ni siquiera que exista una densidad.