Espectro y espectro puntual de este operador

Question

Dejemos que $T\in \text{Aut}(\ell^2(\mathbb{C}))$ y $T(x)=(a_1 x_1, a_2 x_2,\ldots)$ donde $a=(a_i)_i \in \ell^\infty(\mathbb{C})$ . ¿Cómo puedo ver fácilmente lo que es $\sigma(T)$ y $\sigma_p(T)$ (que son los valores propios de $T$ )?

Gracias.

Answer 1

$T$ definido de esta manera es un operador diagonal, es decir, sólo se juntan muchos escalares, por lo que el análisis es relativamente fácil.

Evidentemente, el $a_j$ son valores propios. Además, si $\lambda\neq a_j$ para todos $j$ y $(T-\lambda)x=((a_j-\lambda)x_j)=0$ entonces es fácil ver $x_j=0$ para todos $j$ así que $x=0$ .

Por lo tanto, $\sigma_p(T)=\{a_j\}$ .

También para los operadores diagonales, $\sigma(T)=\overline{(\sigma_p(T))}$ . Es evidente que $\sigma(T)\supset \overline{(\sigma_p(T))}$ porque el espectro es cerrado y contiene todos los valores propios. Por otro lado, si $\lambda$ no está en el cierre del espectro de puntos, entonces podemos separar $\lambda$ del espectro de puntos por una distancia positiva. Con esto podemos demostrar \begin{equation} S(x)=((a_j-\lambda)^{-1}x_j) \end{equation} es un operador lineal acotado y es la inversa de $T-\lambda$ . Así que $\lambda$ no está en $\sigma(T)$ .

Así que en conclusión $\sigma_p(T)=\{a_j\}$ y $\sigma(T)=\overline{\{a_j\}}$ .

Answer 2

Si $Tx=\lambda x$ se obtienen las ecuaciones $$ (a_1-\lambda )x_1=0,\ (a_2-\lambda) x_2=0,\ \ldots $$ Si $x_j\ne0$ para algunos $j$ entonces $\lambda=a_j$ . Al tomar $x$ tal que $x_j=1$ , $x_k=0$ para $k\ne j$ podemos obtener $a_j$ como valor propio. Así que $\sigma_p(T)=\{a_1,a_2,\ldots\}$ .

Supongamos ahora que $a$ es un punto de acumulación de $\{a_1,a_2,\ldots\}$ . Entonces $a\in\sigma(T)$ ya que el espectro es cerrado.

Por último, si $\lambda$ no es un punto de acumulación de $\{a_1,a_2,\ldots\}$ entonces existe $\delta>0$ con $|\lambda-a_j|>\delta$ para todos $j$ . Entonces el mapa $$ x\mapsto (\frac1{\lambda-a_1}\,x_1,\frac1{\lambda-a_2}\,x_2,\ldots) $$ es una inversa acotada de $T-\lambda I$ Así que $\lambda\not\in\sigma(T)$ .

En conclusión, $\sigma_p(T)=\{a_1,a_2,\ldots\}$ y $\sigma(T)=\overline{\sigma_p(T)}$ .