¿Es posible disecar un disco en trozos congruentes, de modo que una vecindad del origen esté contenida en un solo trozo?

Question

Problema: ¿es posible diseccionar el interior de una circunferencia en un número finito de trozos congruentes (las imágenes especulares están bien) de manera que alguna vecindad del origen esté contenida en uno solo de los trozos?

Puede ser concebible que haya alguna disección en conjuntos inconmensurables que haga esto. Así que una posible restricción adicional sería que las piezas estén conectadas, o al menos la unión de espacios conectados.

Una afirmación más débil, también sin resolver: ¿es posible disecar un círculo en trozos congruentes de manera que la unión de algunos de los trozos sea una vecindad conexa del origen que no contenga ningún punto del límite del círculo?

Esto está haciendo la ronda entre los graduados de mi departamento. Hasta ahora nadie ha dicho nada especialmente ilustrativo: ¡se agradecería mucho una prueba/contraejemplo de alguna de estas afirmaciones, o cualquier otro resultado parcial en la dirección correcta!

Editar: Kevin Buzzard señala en los comentarios que esto aparece como un problema abierto en la obra de Croft, Falconer y Guy Problemas no resueltos de geometría (véase la parte inferior de la página 87).

Answer 1

Se ha publicado un nuevo artículo en el arXiv sobre cuestiones relacionadas: "Infinite families of monohedral disk tilings", por Joel Haddley y Stephen Worsley ( arXiv abs .). Aquí están las inclinaciones del disco en piezas congruentes donde al menos una pieza no toca el centro (un resultado mencionado por Anton Geraschenko ):

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Conjeturan (con amplio apoyo) que,

"para cualquier mosaico monohédrico del disco, el centro sólo puede intersecar un mosaico en un vértice".

Esto respondería negativamente a la pregunta original.

Answer 2

Dado que se trata de un problema abierto, he pensado que puedo hacer de estos comentarios una "respuesta".

Aquí hay un problema relacionado que no sé cómo responder:

1. ¿Es cualquier disección del disco en un número finito de trozos congruentes rotacionalmente simétrica?

Parece probable (para mí) que cualquier ejemplo de una disección en un número finito de piezas congruentes de manera que el centro esté en el interior de una de ellas va a fallar en ser rotacionalmente simétrica.

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En realidad, hay un problema más fácil del que no sé la respuesta:

2. ¿Toda disección del disco en un número finito de trozos congruentes es una de las siguientes?

• Rebanadas de pizza. (es decir, cada dos trozos son congruentes mediante una rotación alrededor del centro del círculo )
• Este: