¿Se dan en la naturaleza los grupos Baumslag-Solitar?

Question

El Grupos Baumslag-Solitar $BS(m,n) = \langle b,s\mid s^{-1}b^ms = b^n\rangle$ con $mn\neq 0$ , son ejemplos importantes (más a menudo, contraejemplos) en la teoría de grupos. Son residualmente finitos si, y sólo si, o bien $m$ y $n$ son iguales en valor absoluto, o uno de $m$ y $n$ tiene un valor absoluto igual a $1$ . En ese caso, son Hopfianos, y también cuando $m$ y $n$ tienen los mismos divisores primos. En caso contrario, no son hopfianos. Para $m=n$ obtenemos ejemplos de grupos de un solo relator con centro no trivial. El grupo $BS(2,2)$ es un ejemplo en el que la propiedad Howson falla.

Sólo recuerdo haber visto estos grupos definidos mediante una presentación. Me gustaría saber si estos grupos (aparte de los casos especiales obvios como los metabelianos) pueden realizarse mediante algún otro mecanismo bastante elemental y concreto. Mi pregunta es:

Hace $BS(m,n)$ ¿se producen "en la naturaleza"?

(Por ejemplo, las matrices de Sanov $\left(\begin{matrix} 1&2 \\ 0&1 \end{matrix}\right)$ y $\left(\begin{matrix} 1&0 \\ 2&1\end{matrix}\right)$ generan un subgrupo libre de $SL(2,\mathbb{Z})$ por lo que yo diría que los grupos libres se dan "en la naturaleza").

Evidentemente, dado que los grupos Baumslag-Solitar suelen ser no hopfianos no se pueden construir como grupos de matrices. Pero, quizás haya alguna otra realización concreta de estos grupos.

Si no hay una construcción general, todavía sería útil obtener una realización concreta para el grupo no hopfiano $BS(2,3)$ .

Answer 1

Para $m,n \gt 0, m\ne n$ , $BS(m,n)$ actúa sobre $\mathbb H^2$ por isometrías con un punto fijo ideal común. En particular, se puede representar por la acción sobre el semiplano superior de

$S = \bigg(\begin{matrix}\sqrt{m/n} & 0 \\\ 0 &\sqrt{n/m}\end{matrix}\bigg),$ $B = \bigg(\begin{matrix}1 & \alpha \\\ 0 &1\end{matrix}\bigg)$

donde $\alpha$ es arbitraria.

Hay elementos de $BS(m,n)$ que actúan de forma trivial, pero se puede elevar esto a una acción libre sobre un $T\times \mathbb R$ donde $T$ es un $n+m$ -árbol dirigido regular con grado de salida $m$ y indegree $n$ de modo que para cualquier trayectoria $P \subset T$ , $P\times \mathbb R$ es una copia de $\mathbb H^2$ para que los conjuntos $\{p\}\times \mathbb R$ son horóscopos concéntricos (como líneas horizontales en el plano medio superior).

Esto está relacionado con los alicatados del plano hiperbólico por horobricks, por ejemplo, hay baldosas con un diámetro arbitrariamente pequeño que alicatan $\mathbb H^2$ que son realmente dominios fundamentales de $BS(m,n)$ y análogamente existen poliedros de invariante arbitraria de Dehn que matizan $\mathbb H^3$ .