Los procesos gaussianos están determinados por sus funciones de media y covarianza.

Question

Un proceso estocástico $X_t$ se llama gaussiano si los vectores aleatorios $(X_{t_1},...,X_{t_n})$ son normales multivariantes.

Por qué las distribuciones de dimensión finita de un proceso gaussiano están determinadas por sus funciones de media y covarianza:

$m(t) = EX_t$ ,

$\rho(s,t) = E[(X_s-m(s))(X_t - m(t))^T]$ ?

Gracias

Answer 1

Porque determinan las funciones características del proceso.

Answer 2

Cualquier distribución está determinada de forma única por su transformada de Fourier. Si $Y \sim N(m,C)$ es una variable aleatoria de distribución normal con el vector de la media $m$ y la matriz de covarianza $C$ entonces la transformada de Fourier $\phi(\xi) := \mathbb{E}e^{\imath \, Y\xi}$ es igual a

$$\phi(\xi) := \exp \left( \imath \, m \cdot \xi - \frac{1}{2} \langle \xi, C \xi \rangle \right).$$

En particular, vemos que la transformada de Fourier está determinada unívocamente por $m$ y $C$ . Utilizando esta representación, no es difícil ver que

$$m = \mathbb{E}Y \qquad \qquad C = (\text{cov}(Y_i,Y_j))_{i,j}.$$

Si aplicamos esto al vector aleatorio $Y:= (X_{t_1},\ldots,X_{t_n})$ La afirmación es la siguiente.