Tengo un grupo G que estoy tratando de probar es libre. Ya sé que G es libre de torsión. Además, puedo "casi" demostrar lo que quiero: puedo encontrar un subgrupo de índice finito G′ de G que es definitivamente gratis.
Esto me lleva a la siguiente pregunta. ¿Puede alguien darme un ejemplo de un grupo libre de torsión G que no es libre pero contiene un subgrupo libre de índice finito? Me he esforzado en encontrar grupos así, pero no consigo evitar introducir la torsión. Gracias.
Es un teorema de Stallings y Swan que un grupo de dimensión cohomológica uno es libre.
Por un teorema de Serre, los grupos sin torsión y sus subgrupos de índice finito tienen la misma dimensión cohomológica.
Así, un grupo libre de torsión es libre si y sólo si uno de sus subgrupos de índice finito es libre.
(Aquí están las referencias. Para Stallings-Swan, véase
John R. Stallings, "On torsion-free groups with infinitely many ends", Annals of Mathematics 88 (1968), 312-334.
y
Richard G. Swan, "Groups of cohomological dimension one", Journal of Algebra 12 (1969), 585-610.
El teorema de Serre está en el libro de Brown "Cohomology of Groups").
Si no te gusta la dimensión cohomológica:
Dado un grupo que actúa adecuadamente (y cocompactamente) sobre un árbol. Entonces cualquier extensión finita de este grupo también actúa correctamente y de forma cocompacta sobre un árbol. La idea de la construcción está contenida en el artículo Dunwoody, "Accesibilidad y grupos de dimensión cohmológica uno" .
Allí se demuestra que cualquier acción de este tipo determina un sistema de "subconjuntos casi invariantes" y a la inversa. La existencia de tal sistema pasa directamente a una extensión finita. Por lo tanto, su extensión finita también actúa adecuadamente y de forma cocompacta sobre un árbol y (al estar libre de torsión) es libre.
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