demostrar que si $L(f,P)=U(f,P)$ entonces $f$ es constante en $[a,b]$

Question

Supongamos que $f$ es una función acotada en $[a,b]$ y existe una partición $P $ de $[a,b] $ tal que $L(f,P)=U(f,P)$ . Demostrar que $f$ es constante en $[a,b]$

Sé que $L(f,P)=U(f,P)$ que significa $f$ es integrable por Darboux, también sé que tengo que demostrar que $f'(x)=0$ para demostrar que $f$ es constante en $[a,b]$ . Pero no sé cómo relacionar esos dos.

Answer 1

Sugerencia : Supongamos que $f$ es una función de valor real definida en un intervalo cerrado $I = [\alpha, \beta]$ y $\inf\{f(x) : x \in I\} = \sup \{f(x) : x \in I\}$ . ¿Qué te dice esto sobre el conjunto de valores de $f$ en $I$ ?