Una forma diferente de ver la acción del grupo fundamental sobre grupos de homotopía superiores

Question

Hay un par de maneras de definir una acción de $\pi_1(X)$ en $\pi_n(X)$ . Cuando $n = 1$ , existe la acción natural a través de la conjugación de bucles. Sin embargo, la imagen parece difuminarse un poco cuando se observa la acción en los niveles superiores $\pi_n$ . Todos ellos tienen el sabor del mapa de conjugación, pero son más geométricos que algebraicos, y en algunos casos hay que trabajar para demostrar que el mapa está bien definido. Aquí hay un par que he visto:

Existe una equivalencia de homotopía $f : S^n \to S^n \vee I$ . tomando el punto base de $S^n$ al punto final del intervalo unitario "lejos" de $S^n$ . Dada una ruta $\alpha$ de $x_0$ a $x_1$ se puede obtener un homomorfismo de cambio de base $\pi_n(X,x_0) \to \pi_n(X,x_1)$ tomando $g : S^n \to X$ y mapearlo en $(g \vee \alpha) \circ f$ . Si $\alpha$ es un bucle esto da una acción de $\pi_1$

Otra forma de proceder puede ser examinar los elementos de $\pi_n(X,x_0)$ como clases de homotopía de mapas $I^n \to X$ que envían $\partial I^n$ a $x_0$ . Entonces se podría obtener un homomorfismo de cambio de base utilizando un camino $\alpha$ para definir un mapa $I^n \cup (\partial I^n \times I) \to X$ que puede ser rellenado en un mapa $I^{n+1} \to X$ . Entonces la acción sería tomar la cara opuesta a la original $I^n \subset I^{n+1}$ .

Ambos definen la misma acción estándar de $\pi_1$ en $\pi_n$ pero pierden el sabor algebraico de la acción de grupo y en su lugar tienen esta sensación geométrica más fuerte, que puede hacer que el trabajo con la acción sea un poco engorroso. ¿Hay otras formas de ver esta acción que sean más algebraicas?

Tal vez, se pueda hacer algo en lo que $\pi_0(Y)$ actúa sobre $\pi_n(Y)$ , donde $Y$ es un espacio suficientemente agradable como $\Omega X$ ¿coincide esto con las acciones definidas anteriormente? ¿Es esta una forma útil de ver la acción?

Answer 1

Si G es un grupo topológico, entonces el grupo actúa sobre sí mismo por conjugación, y esta acción es preservadora del punto base. En particular, para un elemento $g \in \pi_0(G)$ y un elemento de homotopía superior $\alpha \in \pi_{n-1} G = [S^n, G]$ se puede comprobar que el conjugado $g \alpha g^{-1}$ está bien definido y define una acción de $\pi_0(G)$ en $\pi_{n-1} G$ . El espacio G es débilmente equivalente al espacio de bucles del espacio clasificador BG, y bajo esta equivalencia la acción de conjugación se lleva a la acción de $\pi_1 BG$ en $\pi_n BG$ .

(Desgraciadamente, esto no funciona directamente para la acción de conjugación del espacio de bucles sobre sí mismo porque no es estrictamente preservadora del punto base; hay que utilizar que existe una homotopía natural de un bucle $\gamma * e *\gamma^{-1}$ a $e$ para producir la acción).

Cualquier espacio de base conectado por caminos X es débilmente equivalente al espacio clasificador de un grupo simplicial G; concretamente, el grupo de bucles Kan de un conjunto simplicial débilmente equivalente. Más aún, existe una equivalencia de Quillen entre las teorías de homotopía de espacios y grupos simpliciales.

(El documento original de Kan puede encontrarse aquí: http://www.jstor.org/pss/1970006 )

Answer 2

Dudo que esto se considere menos geométrico que las acciones de su pregunta, pero si $(X,x_0)$ tiene una cubierta universal con mapa de cobertura $p:(\tilde X, \tilde x_0)\rightarrow (X,X_0)$ entonces $p$ induce isomorfismos $p_*:\pi_n(\tilde X, \tilde x_0)\rightarrow \pi_n(X,x_0)$ y $\tilde p: D\rightarrow \pi_1(X,x_0)$ donde $D$ es el grupo de transformaciones de cubierta (transformaciones de cobertura) de $(\tilde X,\tilde x_0)$ .

Ahora para $\alpha\in \pi_1(X,x_0)$ y $\rho\in\pi_n(X,x_0)$ dejar $\tilde \alpha$ sea la preimagen de $\alpha$ en $\tilde p$ y $\tilde\rho$ sea la preimagen de $\rho$ en $p_*$ .

Entonces $\sigma=(\tilde\alpha)_*(\tilde\rho)$ está en $\pi_n(\tilde X, \tilde x_0)$ y obtenemos $\alpha\cdot \rho$ como $p_*(\sigma)$ .

Ahora que lo pienso, esto es al menos tan geométrico como las acciones de tu pregunta, pero me gusta más la imagen. En la imagen, la cubierta universal no sólo desenrolla los elementos de $\pi_1$ pero también desenrolla la acción de los elementos de $\pi_1$ en los mapas de esferas.

Answer 3

Prefiero hacer un caso más general, que es útil de todos modos, y utilizar las fibrillas de los groupoides. Para los espacios $X,Y$ definen el grupo de vías $\pi_1 Y ^X$ para tener objetos los mapas $X \to Y$ y flechas $f \to g$ las clases de homotopía rel mapas finales de homotopías $f \simeq g$ con la composición habitual de las homotopías. Si $i :A \to X$ es una cofibración entonces $$i^*: \pi_1 Y^X \to \pi_1 Y^A $$ es una fibración de groupoides (dar la "definición obvia", pero apareció por primera vez en un artículo mío de 1970, J. Algebra, aunque es una especialización de una definición anterior para categorías, que tiene un propósito diferente). Ahora bien, para una fibración de los groupoides $p: E \to B$ hay una operación de $B$ en la unión disjunta de $\pi_0$ de las fibras. Aplicado al caso anterior, se obtiene una operación de $\pi_1 Y^A$ sobre las clases de homotopía $X \to Y$ en relación con los mapas $A \to Y$ .

Puede encontrar esto en el capítulo 7 de mi libro Topología y groupoides (2006), con aplicaciones, por ejemplo, a un teorema de encolado para equivalencias de homotopía. (y en esencia en la primera edición de 1968).

Estas ideas se encontraron pensando en los mapas $(S^n,x) \to (Y,y)$ y luego generalizar sustituyendo primero $S^n$ por $X$ y luego el punto $x$ por un subespacio $A$ y el olvido $y \in Y$ .

Siento haber tardado tanto en responder a esto, pero hasta junio de 2011 estaba ocupado con otro trabajo de escritor.