Normas sobre los reales

Question

En los números reales el valor absoluto es una norma en este espacio vectorial. También podemos definir la norma de $x$ para ser $c|x|$ , donde $c>0$ es una constante. ¿Son las únicas normas sobre los números reales? Si no, ¿cuáles son las otras normas sobre los números reales?

Answer 1

Sí, $c|x|$ es una norma y no hay otras. Si $\|x\|$ es cualquier norma, entonces $\|x\|=\|(x)(1)\|=|x|\|1\|$ así que $\|x\|=c|x|$ donde $c =\|1\|$ .

Answer 2

Estos son los únicos debido a la homogeneidad: $$\|x\| = |x|\|1\|.$$