¿Es cada espacio contable primer contable?

Question

Todos los ejemplos de no-primera contables de los espacios que he visto son innumerables (por ejemplo, cualquier innumerables conjunto con la cofinite topología). Me gustaría saber si cada countably infinito $T_1$ espacio $X$ es la primera contables. Desde $\{A\subseteq X|x\in A\}$ para un determinado $x\in X$ es incontable, no parece ser un 1 de la línea de la prueba; la prueba debe exigir el uso de los axiomas de una topología.

Tal vez no he visto una prueba o contraejemplo a ninguna parte, porque no he buscado en el lugar correcto o estoy simplemente la falta de una "obvia" la prueba o contraejemplo. Tal vez alguien puede que me señale una referencia o el ejercicio de un libro de texto donde esta muestra.

Answer 1

Ver espacio de Arens-Fort.

Answer 2

(Lo que sigue es una adaptación de un par de viejos de la lesión.matemáticas puestos de mina, entre 2001 y 2008. Direcciones url de abajo si a alguien le interesa.)

Es posible que los contables de espacio, incluso una contables regulares espacio de Hausdorff, a no ser el primero contables. La clave para lograr que esto ocurra es que, aunque cada subconjunto de un contable espacio debe ser contables, una colección de subconjuntos de un contable espacio puede ser incontables. De hecho, incluso existen contables (regular Hausdorff) los espacios que tienen no hay puntos de primera countability, donde $x \in X$ es un primer punto de countability del espacio topológico $X$ significa que en cada barrio de $x$ (cuando se ve como un espacio topológico con la topología de subespacio heredado de $X$) no ser el primero contables. Para algunos ejemplos, véase:

Pedro Wamer Harley, Un contable de la nada primero contables espacio de Hausdorff, Canadá Matemática Boletín 16 (1973), 441-442.

http://tinyurl.com/5bdddb [.archivo pdf de Harley del papel]

Ronald [Ronnie] Fred Levy, Contables espacios, sin puntos de primera countability, Pacific Journal of Mathematics 70 (1977), 391-399. [La proposición 2.1 da $2^c$ muchas parejas no homeomórficos contables regular espacios de Hausdorff, cada uno de los cuales no tiene puntos de primera countability.]

http://tinyurl.com/6f9u24 [.archivo pdf de Gravamen del papel]

Richard Curtis Willmott, Contables sin embargo en ninguna parte primera contables, Matemáticas Revista 52 (1979), 26-27.

Además de Levy, Leslie Owen Foged también construido $2^c$ nonhomeomorphic contables espacios de no tener puntos de la primera countability en sus 1979 Tel. D. Tesis doctoral (en virtud de Ron Freiwald, de la Universidad de Washington) Bases Débiles para Espacios Topológicos. Creo que los espacios Foged construido también fueron Hausdorff y regular, pero no estoy seguro de esto.

http://groups.google.com/group/sci.math/msg/0b0494e83cbf472c

http://groups.google.com/group/sci.math/msg/dae28a80411cf603

Answer 3

Otro interesante contraejemplos:

Appert Espacio

Máxima Topología Compacto

Un Punto Compactification fo los Racionales

Solo Ultrafilter Topología