Significado del determinante de la restricción de un mapa lineal

Question

Supongamos que $T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es un mapa lineal y dejemos que $U \subset \mathbb{R}^n$ ser un $d$ -donde $0 < d < n$ y $\ker T = U$ . Me preguntaba cómo dar sentido a la frase

El determinante de $T$ restringido a $U^\perp$

Me imagino que esto significa que usted forma el mapa $S: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ donde $$S(x) =\begin{cases} x \text{ if } x\in U\\ T(x) \text{ otherwise} \end{cases}$$ y luego la determinación de $T$ restringido a $U^\perp$ viene dada por $\det S$ . ¿Es ésta la interpretación correcta?

Answer 1

Si $T: V \to V$ es un operador autoadjunto, entonces $\operatorname{Im}(T)$ es ortogonal a $\ker T$ ya que si $k \in \ker T$ entonces $\langle k, Tv \rangle = \langle Tk, v \rangle = 0$ para cualquier $v \in V$ . Por lo tanto, $T((\ker T)^\perp) \subseteq \operatorname{Im}(T) \subseteq (\ker T)^\perp$ Así que $T$ en realidad se restringe a un endomorfismo lineal de $(\ker T)^\perp$ .