Debe el índice de los conjuntos en una subcubierta abierta finita $\mathscr{G}$ ser arbitrario o puede ser un número concreto?

Question

Tengo una pregunta sobre una prueba en mi texto que demuestra que el conjunto $S = (1,2)$ no es compacto sin utilizar el teorema de Heine-Borel.

Nota: Esta es una pregunta relacionada con el análisis real.

Esta es la definición de compacidad utilizada en el texto (la discusión de los conjuntos compactos es anterior a la sección sobre topología, por lo que la definición de compacidad presentada aquí no hace referencia a los espacios topológicos).

La definición de compacidad en mi texto es que un conjunto $S$ se dice que compacto si siempre que esté contenida en la unión de una familia $\mathscr{F}$ de conjuntos abiertos, contenía la unión de algún número finito de los conjuntos en $\mathscr{F}$ . De forma equivalente, el conjunto $S$ es compacto si toda cobertura abierta de $S$ contiene una subcubierta finita.

Una cubierta adecuada de $S$ puede construirse a partir de la familia $\mathscr{F}$ de conjuntos definidos como $\mathscr{F} = \{A_n \, : \, n \in \mathbb{N} \}$ donde $A_n = \left(\frac{1}{n}, 3 \right)$ . Pero aquí está la parte en la que tengo mi pregunta sobre el siguiente fragmento del texto

Sin embargo, si $\mathscr{G} = \{A_{n_1} \dotsc A_{n_k}\}$ es cualquier subfamilia finita de $\mathscr{F}$ y si $m = \mathrm{max}\{n_1, \dotsc, n_k\}$ entonces

$$A_{n_1} \cup \cdots \cup A_{n_k} = A_m = \left(\frac{1}{m},3\right)$$

Se deduce que la subfamilia finita $\mathscr{G}$ no es una tapa abierta de $(0,2)$ .

No tengo ningún problema en entender la demostración de la cita anterior, pero ¿toda demostración que demuestre que un conjunto no es compacto debe tener un índice aribtario pero fijo para la subcubierta finita $\mathscr{G}$ ? Es decir, ¿debemos tener $n_k$ como un índice arbitrario pero fijo para $\mathscr{G} = \{A_{n_1} \dotsc A_{n_k}\}$ o es igual de correcto elegir un número concreto para $k$ , digamos 5, de modo que $\mathscr{G} = \{A_{n_1} \dotsc A_{n_5}\}$ donde $\mathscr{G}$ es suficiente para demostrar que $(1,2)$ no es compacto?

Answer 1

Puedes darle la vuelta a tu pregunta por contraposición para obtener lo siguiente afirmar:

Si $X$ es compacta, entonces toda cubierta abierta tiene una subcubierta de tamaño $<n$ .

Está claro que esta afirmación es falsa para cada $n$ - por ejemplo, la topología discreta en un conjunto de tamaño $n$ es compacto, pero la cubierta abierta $\{\{x\}:x\in X\}$ tiene tamaño $n$ y no tiene subcubiertas adecuadas. (Tampoco se necesita la definición topológica general aquí - incluso en $\Bbb R$ se podría considerar el conjunto $\{1,\dots,n\}$ que es compacto pero tiene la cubierta abierta que consiste en $(k-1/2,k+1/2)$ para $1\le k\le n$ que tiene las mismas propiedades).

En otras palabras, dado un conjunto compacto se sabe que cualquier cubierta abierta tiene una subcubierta finita, pero no se tiene ningún control sobre el tamaño de la subcubierta finita, por lo que una prueba de que un determinado conjunto no es compacto debe permitir que la supuesta subcubierta finita sea arbitrariamente grande.

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Es posible considerar una definición que permita hacer esta suposición, por ejemplo si digo que un conjunto es $n$ -compacto si toda cubierta abierta tiene una subcubierta de tamaño máximo $n$ pero esta definición no tendrá demasiados aspectos positivos. _Edición: Resulta que esto ya existe, con el nombre dado; es muy similar al Número de Lindelöf que es el más pequeño $\alpha$ tal que $X$ es $\alpha$ -compacto. Lo normal es que $\alpha$ Sin embargo, son de interés $\aleph_0$ (compacto) y $\aleph_1$ (Lindelöf), no cardinalidades finitas._ La unión de $n$ -conjuntos compactos no es $n$ -compacto- en cambio tenemos que un $m$ -compacto y $n$ -conjunto compacto dan un $m+n$ -conjunto compacto. Además, en la mayoría de los entornos habituales, la definición se trivializa al igual que el hecho de ser finito de tamaño $\le n$ :

Si $X$ es $T_1$ y $n$ -compacto, entonces $|X|\le n$ .

Prueba: Dejemos que $Y$ sea un subconjunto de $X$ de tamaño $n+1$ y que $U_x=X\setminus (Y\setminus x)$ para cada $x\in Y$ . Entonces, cada $U_x$ está abierto desde $Y\setminus x$ es finito y, por tanto, cerrado, pero cualquier subcubierta abierta debe contener $x$ para cada $x\in Y$ y, por lo tanto, también debe contener $U_x$ (porque el otro $U_y\ne U_x$ todo lo que se pierde $x$ ). Así, $(U_x)_{x\in Y}$ no tiene ninguna subcubierta de tamaño $\le n$ .