Límite Definición y propiedades relacionadas

Question

Dejemos que $\left \{ a_{n} \right \}$ sea una secuencia de números reales. Entonces $\lim_{n \to \infty}a_{n}$ existe si y sólo si

(A) $\lim_{n \to \infty}a_{2n}$ y $\lim_{n \to \infty}a_{2n+2}$ existe

(B) $\lim_{n \to \infty}a_{2n}$ y $\lim_{n \to \infty}a_{2n+1}$ existe

(C) $\lim_{n \to \infty}a_{2n}$ , $\lim_{n \to \infty}a_{2n+1}$ y $\lim_{n \to \infty}a_{3n}$ existe

(D)ninguna de las anteriores

Todas me parecen correctas. ¿Cómo enfocar esto?

Answer 1

Lo primero en lo que debes pensar es en la lógica. Es un teorema básico sobre las secuencias que si el límite de una secuencia existe, entonces el límite de cualquier subsecuencia existe (y es el mismo). Por tanto, si $\lim_{n\to\infty}a_n$ existe, entonces todos los otros límites mencionados existen y (A), (B), (C) son todos verdaderos. Sospecho que esto es lo que estás pensando.

Sin embargo, la pregunta no decía "si", sino "si y sólo si". Así que lo que tienes que decidir es, si (A) es cierto, ¿se deduce que $\lim_{n\to\infty}a_n$ ¿existe? Y lo mismo para (B) y (C).

Aquí hay una pista . ¿Puedes idear una secuencia $\{a_n\}$ para lo cual $\lim_{n \to \infty}a_{2n}$ y $\lim_{n \to \infty}a_{2n+1}$ ¿ambas existen pero no son iguales? Si puedes, entonces (B) queda descartada; si puedes demostrar que esto es imposible, entonces (B) es la respuesta.

Y un pista para (C). Comienza pensando de la misma manera y considera la secuencia $\{a_{6n}\}$ .