¿Qué se sabe de este plethysm?

Question

Dejemos que $S^{\lambda}$ sea un functor de Schur. ¿Existe un positivo para calcular la descomposición de $S^{\lambda}(\bigwedge^2 \mathbb{C}^n)$ en $GL_n(\mathbb{C})$ ¿Ireps?

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En respuesta a la solicitud de aclaración de Vladimir, la respuesta ideal sería un conjunto finito cuya cardinalidad es la multiplicidad de $S^{\mu}(\mathbb{C}^n)$ en $S^{\lambda}(\bigwedge^2 \mathbb{C}^2)$ . Como ejemplo, el documento Dividir el cuadrado de una función de Schur en sus partes simétrica y antisimétrica da una regla de este tipo para $\bigwedge^2(S^{\lambda}(\mathbb{C}^n))$ .

Las fórmulas que implican evaluaciones de caracteres de grupos simétricos, o que implican sumas alternas sobre ganchos de borde estables, no son buenas porque no son positivas.

Y, sí, es fácil relacionar las respuestas para $\bigwedge^2 \mathbb{C}^n$ y $\mathrm{Sym}^2(\mathbb{C}^n)$ Así que siéntase libre de responder con lo que sea más conveniente.

Answer 1

Del libro de Weyman "Cohomology of Vector bundles and Syzygies" el capítulo 2 da las siguientes descomposiciones: $$\mathrm{Sym}^m \left(\bigwedge^2 E\right)=\bigoplus_{\lambda \in A_m}S^{\lambda}E$$ $$\bigwedge^m \left(\bigwedge^2E\right)=\bigoplus_{\lambda \in B_m}S^{\lambda}E$$ donde $A_m$ es el conjunto de todos los $\lambda$ con $|\lambda|=2m$ de manera que todas las partes $\lambda_i$ están igualados. $B_m$ es el conjunto de todas las particiones $\lambda$ de $2m$ para que al escribirlo en notación de gancho $\lambda=(a_1,\dots,a_r|b_1,\dots,b_r)$ tienes $a_i=b_i+1$ para todos $i$ . Además, tal vez este El artículo tiene algunas referencias útiles.

Answer 2

Si lo recuerdo correctamente los casos $\mathrm{Sym}^k(\bigwedge^2 \mathbb{C}^n)$ y $\mathrm{Sym}^k(\mathrm{Sym}^2(\mathbb{C}^n))$ son conocidos; y por lo tanto $\bigwedge^k(\bigwedge^2 \mathbb{C}^n)$ y $\bigwedge^k(\mathrm{Sym}^2(\mathbb{C}^n))$ . Mañana buscaré las referencias (si es de interés).

Editar El resultado ya ha sido declarado. Lo aprendí de R.P.Stanley "Enumerative Combinatorics" Vol 2, Apéndice 2. Específicamente, A2.9 Ejemplo (página 449) que se refiere a (7.202) en la página 503. Esto da como referencia original (11.9;4) de la edición de 1950 de:

Littlewood, Dudley E. "La teoría de los caracteres de grupo y las representaciones matriciales de grupos".

P.D. En las Notas al final de 7.24 (parte inferior de la página 404 en la edición de CUP 1999) se discute el origen y la etimología de "plethysm". Dice:

El Plethysm se introdujo en
MR0010594 (6,41c) Littlewood, D. E. Teoría invariante, tensores y caracteres de grupo.
Philos. Trans. Roy. Soc. Londres. Ser. A. 239, (1944). 305--365

El término "plethysm" fue sugerido a Littlewood por M. L. Clark a partir de la palabra griega plethysmos $\pi\lambda\eta\theta\upsilon\sigma\mu\acute o\varsigma$ para la "multiplicación".

Answer 3

Dejemos que $V = \mathbb{C}^n$ donde $n$ es lo suficientemente grande. Este papel de Melanie de Boeck y Rowena Paget determina los componentes de $S^\lambda (\mathrm{Sym}^2 V)$ cuando $\lambda$ tiene dos filas, o dos columnas o es una partición de gancho de la forma $(k-r,1^r)$ . Desde $S^\mu (V)$ aparece en $S^\lambda (\mathrm{Sym}^2 V)$ si y sólo si $S^{\mu'}$ aparece en $S^\lambda (\bigwedge^2V)$ Estos resultados se aplican a la pregunta.

Se dan fórmulas positivas explícitas para las multiplicidades de los consituyentes irreducibles de $S^{(k-1,1)}(\mathrm{Sym}^2 V)$ , $S^{(2,1^{k-2})}(\mathrm{Sym}^2V)$ , $S^{(k-2,2)}(\mathrm{Sym}^2 V)$ y $S^{(k-2,1^2)}(\mathrm{Sym}^2 V)$ . Estos resultados dan una respuesta completa a la pregunta en tres nuevos casos.

Por ejemplo, el Corolario 3.2 establece que si $\mu$ es una partición de $2k$ entonces $S^\mu V$ aparece en $S^{(k-1,1)}(\mathrm{Sym}^2 V)$ si y sólo si $\mu$ sólo tiene partes pares, o $\mu$ tiene exactamente dos partes Impares de distintos tamaños. En este último caso la multiplicidad es $1$ en el primer caso la multiplicidad es uno menos que el número de tamaños de parte distintos de $\mu$ .

Editar. Digamos que $S^\lambda(V)$ es un constituyente mínimo de un polinomio $\mathrm{GL}(V)$ -Módulo $W$ si $S^\lambda(V)$ aparece en $W$ y $\lambda$ es mínima con esta propiedad. Definir constituyente máximo análogamente. Sea $m \in \mathbb{N}$ . Este papel por Rowena Paget y yo caracteriza, en términos de ciertas tuplas de familias de $m$ -subconjuntos de $\mathbb{N}$ Todas las particiones $\mu$ tal que $S^\mu$ es un constituyente mínimo de $S^\lambda(\mathrm{Sym}^m(V))$ . Existe una caracterización análoga de los constituyentes máximos de $S^\lambda(\mathrm{Sym}^m(V))$ sustituyendo los conjuntos por los multiconjuntos.

Para dar un ejemplo muy pequeño, el constituyente mínimo $S^{(4,3,1)}(V)$ de $S^{(1^4)}({\mathrm{Sym}^2(V)})$ corresponde a la familia de $2$ -sets $\bigl\{ \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,4\} \bigr\}$ de multigrado $(4,3,1)' = (3,2,2,1)$ .

Estos resultados dan una condición práctica suficiente sobre una partición $\nu$ para $S^\nu(V)$ para tener multiplicidad cero en $S^\lambda(\mathrm{Sym}^2(V))$ por lo que también son relevantes para la pregunta.

Answer 4

También puede utilizar SAGE (por ejemplo, el Cuaderno en línea de Sage )

Ejemplo:

El tensor de curvatura de Riemann $R$ vive en el espacio $Sym^2(\Lambda^2 V)$ (después de identificar $V$ con $V^{\vee}$ )

Descomponiéndolo en Sage:

$ s = SFASchur(QQ) $

(sea s el functor de Schur)

$ s(\[2\])(s(\[1,1\])) $

(calcular el plethysm $ Sym^2 \Lambda^2 $ )

s[1, 1, 1, 1] + s[2, 2]

-- es decir, $\Lambda^4 V + S_{\[2,2\]}$ como debe ser

$ s([3])(s([1,1]))

s[1, 1, 1, 1, 1] + s[2, 2, 1, 1] + s[3, 3]

-- aunque entiendo que la fórmula explícita es mejor :)

Answer 5

¿Qué tipo de fórmula le parece satisfactoria? Fórmulas para el pletismo $s_\lambda\circ h_n$ donde los coeficientes se expresan en términos de $S_n$ -y los números de Kostka generalizados se encuentran en el libro de Macdonald (véanse las páginas 138-140), por lo que poner $n=2$ y aplicando la involución estándar se obtendrá algún resultado para $e_2$ también (que es su pregunta, supongo)...