Incrementos independientes de la integral temporal del movimiento browniano

Question

Me pregunto si $\int_0^tW(s)ds$ es independiente de $\int_t^TW(s)ds$ , donde $W$ es un proceso estándar de movimiento browniano/wiener, y para $0 \leq t \leq T$

Escribiéndolas como límites de integrales de Lebesgue, con $t_n = t$ y $t_l = T$ $\int_0^tW(s)ds = \sum_{i=1}^nW_{i} \cdot (t_{i+1} - t_i)$ y $\int_t^TW(s)ds = \sum_{i=n+1}^lW_{i} \cdot (t_{i+1} - t_i)$ . En este sentido, me parecen independientes, pero sé que $\int_t^TW(s)ds$ no es independiente de $W_t$ (o la filtración $\mathcal F^W_t$ ) ya que $W_s$ es una martingala y por tanto $\mathbb E\left[ \int_t^TW(s)ds | W_t\right] = W_t \cdot (T-t)$ Esto me hacía preguntarme si $\int_0^tW(s)ds$ tenía "suficiente información" para afectar al valor de $\int_t^TW(s)ds$ .

También me preguntaba para el caso general de las integrales de tiempo, si $\int_0^tf(s,W(s))ds$ y $\int_t^Tf(s,W(s))ds$ pero parece que la respuesta debería ser la misma que para el caso del movimiento browniano.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Dejemos que $T=2t$ . Entonces $$ E \left[ \left( \int_0^t W_s \, d s \right)\left(\int_t^{2t} W_s \, d s\right) \right] = E \left[ \left( \int_0^t W_s \, d s \right)\left(\int_0^t W_{t+s }\, d s\right) \right] = E \left[ \int_0^t \int_0^t W_s W_{t+u}\, d s \, d u \right] = \int_0^t \int_0^t E (W_s W_{t+u}) \, d s \, d u = \int_0^t \int_0^t E (W_s (W_{t+u} - W_s)) \, d s \, d u + \int_0^t \int_0^t E (W_s^2) \, d s \, d u = \int_0^t \int_0^t s \, d s \, d u = \frac{t^3}{2} \neq 0.$$