Estoy estudiando inducción matemática y la mayoría de las veces tengo que demostrar algo. Como, por ejemplo:
$1 + 4 + 9 + ...+ n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Esta vez encontré una pregunta que me pide encontrar una fórmula para
$1 + 16 + 81 + .... + n^4$
¿Cómo puedo hacer esto con la inducción? ¿Y existe realmente una fórmula para esta suma?
Como $S_0=0$ y $S_n-S_{n-1}=n^4$ , $S_n$ debe ser un polinomio de quinto grado sin ningún término independiente, que
$$S_n=an^5+bn^4+cn^3+dn^2+en.$$
Entonces
$$S_n-S_{n-1}=\\ a(n^5-n^5+5n^4-10n^3+10n^2-5n+1)+ \\b(n^4-n^4+4n^3-6n^2+4n-1)+\\ c(n^3-n^3+3n^2-3n+1)+\\ d(n^2-n^2+2n-1)+\\ e(n-n+1)=\\ a(5n^4-10n^3+10n^2-5n+1)+ \\b(4n^3-6n^2+4n-1)+\\ c(3n^2-3n+1)+\\ d(2n-1)+\\ e. $$
Al identificarse con $n^4$ ,
$$\begin{cases}5a=1\\-10a+4b=0\\10a-6b+3c=0\\-5a+4b-3c+2d=0\\a-b+c-d+e=0.\end{cases}$$
Se trata de un sistema triangular, que da fácilmente
$$a=\frac15,b=\frac12,c=\frac13,d=0,e=-\frac1{30}.$$
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