Prueba de la regla del producto de Ito

Question

Según la Wikipedia, el lema de Ito multidimensional es:

Si $\mathbf{X}_t = (X^1_t, X^2_t, \ldots, X^n_t)^T$ es un vector de Ito tal que $d\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}_t\, dt + \mathbf{G}_t\, d\mathbf{B}_t$ para un vector $\boldsymbol{\mu}_t$ y matriz $\mathbf{G}_t$ El lema de Ito dice entonces que

$$df(t,\mathbf{X}_t) = \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right)^T \boldsymbol{\mu}_t + \frac{1}{2}\text{Tr}\left[ \mathbf{G}_t^T \left( H_\mathbf{X} f \right) \mathbf{G}_t \right] \right\} dt + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right)^T \mathbf{G}_t\, d\mathbf{B}_t$$

Ahora dejemos que $\mathbf{X}_t = ((X_1)_t, (X_2)_t)$ , donde $X_i = \mu_i \; dt + \sigma_i \; d(B_i)_t$ . Entonces la matriz $\mathbf{G}$ es sólo $\begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \end{pmatrix}$ , $\nabla_\mathbf{X} f$ es $(x_2, x_1)$ y $H_\mathbf{X} f = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Definir $f(t, x_1, x_2) = x_1 x_2$ . Entonces de Ito, deberíamos tener

$$\begin{eqnarray*} d(X_1 X_2) &=& (X_2, X_1) \cdot (\mu_1, \mu_2) + (X_2 \sigma_1, X_1 \sigma_2) \cdot (dB_1, dB_2) \\ &=& X_2 (dX_1) + X_1 (dX_2) \end{eqnarray*}$$

Sin embargo, esta no es la respuesta correcta. Deberíamos tener $$d(X_1 X_2) = X_2 (dX_1) + X_1 (dX_2) + (dX_1)(dX_2)$$ ¿Por qué me falta el $(dX_1)(dX_2)$ ¿término anterior?

Answer 1

El proceso de variación cuadrática cruzada $[X_1,X_2]$ es $0$ . Por eso no aparece.

Te preguntarás por qué $[X_1,X_2]$ es $0$ .

$$[X_1,X_2]_t = [\int_0^t\mu_1\,ds + \int_0^t\sigma_1\,dB_{1,s},\int_0^t\mu_2\,ds + \int_0^t\sigma_2\,dB_{2,s}]_t$$

Necesitas un montón de hechos para demostrar que esto es $0$ .

$1$ -) Bilinealidad de la variación cuadrática

$2$ -) La variación cuadrática cruzada de un proceso continuo con variación acotada y de otro proceso caduco es $0$ .

$3$ -) La variación cuadrática cruzada de dos movimientos brownianos independientes es $0$ .