distancia entre un punto medio y un conjunto

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio normado, y $d$ es la métrica inducida por la norma. Supongamos que $C$ es un subconjunto convexo cerrado no vacío de $X$ . Sea $x_a$ sea un punto fuera de $C$ es decir, $x_a \in X \backslash C$ . Definir $$d(x_a,C) = \inf \left\{d(x_a,x_c) | x_c \in C\right\}.$$

Supongamos que $x_d$ es un elemento de $C$ tal que $d(x_a,C) = d(x_a,x_d)$ .

Demuestre que para cualquier $\lambda \in (0,1)$ , $d(\lambda x_a + (1-\lambda)x_d,C) = \lambda d(x_a,C)$ . En primer lugar, una dirección es obvia: $$d(\lambda x_a + (1-\lambda)x_d,C) \leq \lambda d(x_a,C),$$ Sin embargo, me resulta difícil probar la parte inversa.

Answer 1

Dejemos que $x_\lambda := \lambda x_a + (1-\lambda) x_d$ , $\lambda\in (0,1)$ . Fijemos $\lambda \in (0,1)$ y $\epsilon > 0$ .

Por definición de la distancia de $C$ existe un punto $y_\lambda \in C$ tal que $$ d(x_\lambda, y_\lambda) \leq d(x_\lambda, C) + \epsilon. $$ Por lo tanto, $$ d(x_a, C) \leq \|x_a - y_\lambda\| \leq \|x_a - x_\lambda\| + \|x_\lambda - y_\lambda\| \leq (1-\lambda) d(x_a, C) + d(x_\lambda, C) + \epsilon, $$ es decir $$ d(x_\lambda, C) \geq \lambda d(x_a, C) - \epsilon. $$ Como esta desigualdad es válida para todo $\epsilon > 0$ La conclusión es la siguiente.