Dualidad de diagramas para la fibración y la cofibración

Question

Según el informe de May Curso conciso de topología algebraica los diagramas siguientes representan la cofibración y la fibración, respectivamente, si existe una flecha en diagonal (hacia el objeto superior derecho) que haga conmutar el diagrama:

$$ \require{AMScd} \begin{CD} A @>{}>> Y^I\\ @VVV @VVV \\ X @>{}>> Y \end{CD}$$

$$ \require{AMScd} \begin{CD} Y @>{}>> X\\ @VVV @VVV \\ Y\times I @>{}>> A \end{CD}$$

El autor dice que la construcción es "dual" en cierto sentido. Está claro que $\cdot\times I$ es adjunto a la izquierda de $[I,\cdot]$ y no inducen necesariamente la equivalencia de categorías, es decir, de $\mathbf{CGHaus}$ a sí mismo. Por lo tanto, la existencia de la flecha diagonal que hace que uno de los diagramas conmute no implica necesariamente que lo mismo ocurra con otro diagrama. Si tomamos el dual del diagrama anterior, entonces coincide con el segundo excepto en $Y^I$ y $Y\times I$ partes. Son similares por la adjunción, pero ¿por qué podría decir que son duales entre sí? ¿Está este tipo de "dualidad" rigurosamente definida? Esta me parece bastante diferente de una construcción dual habitual, como el colímite de un diagrama en comparación con el límite.

Answer 1

La sensación de que $Y^I$ y $Y \times I$ son duales entre sí están en el lenguaje de las categorías del modelo. Una categoría modelo es una categoría en la que se tiene una noción de homotopía; es una categoría $\mathfrak{C}$ con tres clases de mapas: $\mathscr{C}$ de cofibraciones, $\mathscr{F}$ de las fibraciones, y $\mathscr{W}$ de equivalencias débiles tales que $\mathfrak{C}$ es completa y cocompleta (con respecto a cualquier $\mathscr{V}$ universo enriquecido de la teoría de conjuntos que le interesa), $\mathscr{W}$ satisface un axioma de "dos de tres" (dados los mapas $f, g,$ y $g \circ f$ si dos de $f, g$ o $g \circ f$ están en $\mathscr{W}$ entonces también el tercero), y tal que ambos $(\mathscr{C}, \mathscr{W} \cap \mathscr{F})$ y $(\mathscr{C} \cap \mathscr{W}, \mathscr{F})$ son sistemas de factorización débil en $\mathfrak{C}$ . El objeto $Y \times I$ es una forma de producir un objeto homotópicamente equivalente a $Y$ mediante una cofibración (cuando $Y$ es cofibrante) que proporciona un lugar para definir homotopías (de izquierda) (nótese que en $\mathbf{Top}$ esto es exactamente lo que ocurre). Por otra parte, el objeto $Y^I$ es un objeto que es homotópicamente equivalente a $Y$ (cuando $Y$ es fibrante) a través de una fibración que proporciona un lugar diferente, pero igualmente útil, para definir las homotopías (derechas).

Si está interesado en leer más sobre esto en un entorno general, le recomiendo encarecidamente Notas de Dwyer y Spalinski sobre la teoría de categorías de modelos así como Notas de Hovey y El libro de Hirschhorn sobre la localización de las categorías de modelos . Si está más interesado en la homotopía de la categoría $\mathbf{Top}$ como aproximación a través de conjuntos simpliciales, Joyal y Tierney escribió un gran conjunto de notas sobre el tema, pero Goerss y Jardine tener una referencia sólida también. Todas estas referencias son buenas y entran en una descripción bastante detallada del enfoque categórico del modelo de la teoría de la homotopía al que se alude en los diagramas que has dibujado arriba.