Intentaba demostrar que la componente óptica lineal son aquellas cuyas transformaciones de Bogoliubov adoptan la forma particular
$$a_i^{\dagger}=\sum^{n}_{j=1}U_{ij}a_j^{\dagger}$$
donde $a_i^{\dagger}$ es el operador de creación del i-ésimo modo.
Utilizando la representación de Heisenberg y sabiendo que el hamiltoniano que genera una evolución óptica lineal arbitraria puede escribirse como
$$H=\sum_{ij}h_{ij}a_i^{\dagger}a_j $$
donde $h$ es un $m \times m$ matriz hermitiana ( $h^\dagger=h$ ). Para ello, consideremos la ecuación de Heisenberg para un conjunto de operadores $a_i^{\dagger}$
$$\frac{d}{dt}a_i^{\dagger}(t)=i [H,a_i^{\dagger}(t)]$$
Utilizando las relaciones de conmutación $[a_i,a_j^{\dagger}]=\delta_{ij}$
$$\frac{d}{dt}a_i^{\dagger}(t)= \sum_j h_{ij} a_j^{\dagger}$$
Y aquí es donde no sé cómo resolver este conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas.
Agradezco cualquier posible idea sobre cómo proceder o si este es el enfoque correcto.
