Como Paŭlo alude, es difícil responder a esta atención, sin saber exactamente qué parte de la analogía que se está refiriendo. Así que esta va a ser una idea bastante aproximada de la respuesta.
En primer lugar, hay un gran nivel de superficie (pero importante) analogía entre, digamos, $\mathbb{Z}$$\mathbb{C}[x]$, la mayoría de los cuales se deriva del hecho de que estos dos anillos tienen ambos de la división de algoritmos. Usted obtener un algoritmo de Euclides, gcd, director de ideal teorema, etc., todos los cuales conducen a buen analogías: la interpolación de Lagrange vs estándar teorema del resto Chino, series de Taylor vs $p$-ádico expansiones, etc. En esta configuración, probablemente la mayor razón por la que salta a la mente de la disparidad que mencionar es el local de los fenómenos. Primero de todo, es más fácil agregar serie en $\mathbb{C}[[x]]$ que está en $\mathbb{Z}_p$: serie de Taylor agregar coeficiente a coeficiente, añadiendo $p$-ádico de expansión implica "lleva." Realmente lo que esto está señalando es el grado de la función de ser una importante ayuda en el caso polinomial, siendo algo más rígido que la $p$-ádico de valoración. Segundo, la fracción de campo $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}$ tiene una muy extraño final que satisface, de todas las cosas, la propiedad de Arquímedes. Por el contrario, todas las terminaciones de $\mathbb{C}(x)$ no son de Arquímedes y la totalidad de sus residuos campos son idénticos. Usted podría incluso volver a la frase de este topológicamente -- $\mathbb{Q}$ se ha conectado a la finalización, $\mathbb{C}(x)$ no.
Hay una fuerte analogía entre los campos de número y función de los campos finitos campos. Aquí el residuo de campos finitos campos como están en $\mathbb{Z}$, por lo tanto el ajuste de la analogía. Se trata de un sector que se encuentra en la mayor parte de la geometría algebraica, y es demasiado desconcertantemente vasto para decir mucho aquí. Permítanme señalar un par de MO preguntas que abordan este punto:
Baste decir que toda la fuerza de la geometría algebraica puede venir a dar en el campo de función lado de las cosas, así que nos ponemos las conjeturas de Weil, ABC, la hipótesis de Riemann para la función de los campos, etc. Es probablemente vale la pena mencionar que todavía hay un montón de casos en los que no sabemos tanto de los resultados análogos (por ejemplo, Artin la raíz primitiva conjetura vs Lang-Trotter, etc.)
Por último, permítanme mencionar muy brevemente un tercer nivel a esta analogía, que es introducir la noción de un Drinfeld módulo, diseñado (en un sentido) para apretar de nuevo la analogía. De nuevo, esto es demasiado gigantesca de un tema para decir algo significativo sobre en un párrafo, pero lo menciono como un punto donde la disparidad comienza a desaparecer y/o invertir - hay preguntas abiertas acerca de Drinfeld módulos cuya aritmética análogos son conocidos. Tal vez los comentaristas no se puede pensar en un ejemplo que no requiere de páginas de notación para escribir.
