¿Por qué la clase equivariante de Euler es un carácter?

Question

Precisemos primero la cuestión: dejemos $T$ sea un toroide, $\alpha : T \to \mathbb{C}$ ser un personaje irreductible. Me interesa el $T$ -de la clase de Euler equivariante de la ( $T$ -equivariante) paquete $\xi_\alpha:\mathbb{C}\to pt$ donde $T$ actúa sobre $\mathbb{C}$ a través de $\alpha$ . $\alpha$ corresponde a una forma integral $\alpha^\ast$ en el dual del álgebra de Lie de $T$ y en su magnífico artículo "The Moment Map and Equivariant Cohomology", Atiyah y Bott dicen que la clase de Euler equivariante del haz $\xi_\alpha$ es exactamente $\alpha^\ast$ (visto como una clase cohomológica equivariante de $pt$ ).

Mi pregunta es entonces: ¿por qué es esto cierto?

Answer 1

Bueno, va a haber algunos mapa $T^* \to H^2_T(pt)$ tomando un peso $\lambda$ a la clase de Euler equivariante del correspondiente haz de líneas sobre un punto. Si se añaden pesos, eso tensa los haces de líneas, por lo que se añaden las primeras clases de Chern; por lo tanto, este es un mapa aditivo entre estos dos grupos abelianos libres. Como es natural va a ser $Aut(T)$ -equivariante. Ya vemos que Atiyah y Bott tienen que tener razón, hasta la escala.

Answer 2

Después de haber trabajado un poco en la pregunta, estoy en condiciones de dar una respuesta. Es técnica y no muy elegante, así que me gustaría ver respuestas mejores, pero creo que es bastante elemental. La idea es calcular la clase Thom equivariante del haz, y restringirla a la sección cero. Como el haz inducido sobre $BT$ admite una $\mathbb{C}^\ast$ acción, es orientable, por lo que admite una clase Thom, y veremos que sólo hay una clase en $H^2_T(\mathbb{C},\mathbb{C}^\ast)$ Así que tendrá que ser la clase Thom.

Así pues, calculemos $H^2_T(\mathbb{C},\mathbb{C}^\ast)$ . Procederemos a través de la secuencia exacta larga equivariante del par $(\mathbb{C},\mathbb{C}^\ast)$ : $$ \dots \to H^1_T(\mathbb{C}^\ast) \to H^2_T(\mathbb{C},\mathbb{C}^\ast) \stackrel{j^\ast}{\to} H^2_T(\mathbb{C}) \stackrel{i^\ast}{\to} H^2_T(\mathbb{C}^\ast) \to \cdots $$ Escribamos $(\mu^i) $ para una base de $T^\ast$ el dual del álgebra de Lie de $T$ . Ahora usa cualquier forma que te guste para ver que $H^1_T(\mathbb{C}^\ast)=0$ y $H^2_T(\mathbb{C}^\ast)=\bigoplus_i \mathbb{R}\mu^i / \alpha^*$ . Así que $j^\ast$ es inyectiva, por lo que $H^2_T(\mathbb{C},\mathbb{C}^\ast) = \ker i^\ast$ . Ahora $\mathbb{C}$ es ( $T$ -equivariantemente) homotópica a un punto, por lo que $H^2_T(\mathbb{C}) = \bigoplus_i \mathbb{R}\mu^i$ y $i^\ast$ simplemente mapas $\mu^i$ a su clase modulo $\alpha^\ast$ Así que $H^2_T(\mathbb{C},\mathbb{C}^\ast) = \ker i^\ast = \mathbb{R}\alpha^\ast$ y tenemos lo que queríamos.