Número de soluciones integrales con repetición finita utilizando la función generadora

Question

Cuántas soluciones integrales de la siguiente ecuación donde $x_i$ y $k$ son números enteros.

$\begin{align*} &\sum_{i=1}^{10}x_i = k \quad \text{ where }\qquad 0\leq x_i \leq 20 \quad,\quad k > 0\\ &\text{Using generating function :} \\ &\text{No of solution : } \sum_{k=1}^{200}\left [ {\color{red}{\left [ x^k \right ]}}\left ( \sum_{p=0}^{20}x^p \right )^{10} \right ] \\ &\Rightarrow \sum_{k=1}^{200}\left [ {\color{red}{\left [ x^k \right ]}}\left ( \frac{1-x^{21}}{1-x} \right )^{10} \right ] \\ &\Rightarrow \sum_{k=1}^{200}\left [ {\color{red}{\left [ x^k \right ]}}\left \{ \sum_{m=0}^{10}\binom{10}{m}(-1)^mx^{21m} \right \}\cdot \left \{ \sum_{n=0}^{\infty}\binom{9+n}{n}x^n \right \} \right ] \\ \end{align*}$

Por favor, ayúdenme a simplificar los pasos, se está volviendo engorroso hasta encontrar el coeficiente de ${\color{red}{\left [ x^k \right ]}}$ .

O por favor sugiera otro método.

Gracias.

Answer 1

Aquí extraemos el coeficiente de $x^k$ .

Obtenemos \begin{align*} [x^k]\sum_{n=0}^\infty&\binom{n+9}{n}x^n\sum_{m=0}^{10}\binom{10}{m}(-1)^mx^{21m}\\ &=\sum_{n=0}^k\binom{n+9}{n}[x^{k-n}]\sum_{m=0}^{10}\binom{10}{m}(-1)^mx^{21m}\tag{1}\\ &=\sum_{n=0}^k\binom{k-n+9}{k-n}[x^{n}]\sum_{m=0}^{10}\binom{10}{m}(-1)^mx^{21m}\tag{2}\\ &=\sum_{n=0}^{\left\lfloor{k/21}\right\rfloor}\binom{k-21n+9}{k-21n}[x^{21n}]\sum_{m=0}^{10}\binom{10}{m}(-1)^mx^{21m}\tag{3}\\ &=\sum_{n=0}^{\min\{\left\lfloor{k/21}\right\rfloor,10\}}\binom{k-21n+9}{k-21n}\binom{10}{n}(-1)^n\tag{4}\\ \end{align*}

Comentario:

• En (1) utilizamos la linealidad del coeficiente de y aplicar la regla \begin{align*} [x^{p-q}]A(x)=[x^p]x^qA(x) \end{align*}

• En (2) intercambiamos el orden de la suma exterior sustituyendo $n \rightarrow k-n$ .

• En (3) observamos que en la suma interna el exponente de $x$ es un múltiplo de $21$ . Por lo tanto, necesitamos múltiplos de $21$ del índice $n$ para hacer coincidir estos exponentes. Para ello, tomamos los múltiplos de $21$ del índice $n$ . De esta manera también podemos restringir el límite superior de la suma de salida.

• En (4) seleccionamos el coeficiente de $x^{21m}$ y actualizar el límite superior de la suma en consecuencia.

Nota: Desde $\binom{p}{q}=0$ si $q>p$ también podríamos relajar el límite superior de la suma y escribir simplemente \begin{align*} \sum_{n\geq 0}\binom{k-21n+9}{k-21n}\binom{10}{n}(-1)^n \end{align*}