¿Qué es un "gráfico abierto"?

Question

En un antiguo trabajo de investigación**, vi un teorema relativo a una correspondencia que tiene un "gráfico abierto". Busqué este término en Google, y todo lo que pude encontrar fue la tecnología de "gráfico abierto" de Facebook, que no tiene nada que ver. Entonces, ¿qué significa que una correspondencia tenga un grafo abierto?

** Equilibrio en economías abstractas sin preferencias ordenadas, por Shafer y Sonnenschein .

No he encontrado una versión gratuita disponible en línea, pero, el papel es resumido en Wikipedia .

EDIT: Debería haber buscado en Google Gráfico cerrado - es un término mucho más común.

Answer 1

Una correspondencia es simplemente un mapa de valor de conjunto $\phi: X\to 2^Y$ . El gráfico de $\phi$ es entonces el conjunto $$\Gamma(\phi)=\{(x,y)\in X\times Y\mid y\in\phi(x)\}.$$ Si $X$ y $Y$ vienen dotados de topologías, podemos dotar $X\times Y$ con la topología del producto. Si el gráfico de $\phi$ es un conjunto abierto en la topología del producto, decimos que $\phi$ tiene un gráfico abierto.