$\newcommand{\ee}{ \varepsilon }$
La función Newton-Raphson $N:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ asociada a una función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ se define como
$$N(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$$
Utilizando una expansión en serie de Taylor de $N(x)$ sobre el punto $x=p$ , demuestran que dicho punto fijo es superatractivo es decir
$$|N(x)-p|\le K|x-p|^2,$$
para algunos $K>0$ y todos $x$ en algún barrio $I$ de $p$ .
Este es el enfoque de este problema que tuve:
$$N''(p) = \frac{f''(p)}{[f'(p)]}$$ $$N(x) = N(p)+N'(p)(x-p)+N''(p)(x-p)^2 + \mathcal{O}[(x-p)^3]=p+N''(p)(x-p)^2+\mathcal{O}[(x-p)^3]$$ $$=p+\frac{f''(p)}{f'(p)}(x-p)^2+\mathcal{O}[(x-p)^3]$$ $$\implies |N(x)-p|=\left| \frac{f''(p)}{f'(p)} (x-p)^2 + \mathcal{O}[(x-p)^3] \right|\le \left| \frac{f''(p)}{f'(p)}\right||x-p|^2+\left|\mathcal{O}[(x-p)^3]\right|$$ Dejemos que $|x-p|=\ee >0$ , de tal manera que $\ee << 1$ . Entonces $|N(x)-p|\le K\ee^2 + \underbrace{|O(\ee^3)|}_\text{$ :=\ee'<\i> $}$ . Como $\ee$ tiende a $0$ , $\ee'$ tiende a $0$ más rápido, para que
$$|N(x)-p|\le K\ee^2 = K|x-p|^2$$
Desgraciadamente, la prueba no es muy rigurosa, ya que no he eliminado exactamente el término de error. Me pregunto cómo puede uno deshacerse de este término utilizando el enfoque de la expansión de Taylor.
