Potencias de inducción de una matriz

Question

Estoy tratando de demostrar que si $A = AB-BA$ , donde $A,B$ son matrices al cuadrado, entonces $$kA^k = A^kB-BA^k$$ para todos $k$ en los naturales.

Procedo por inducción, pero no puedo ordenar las expresiones para concluir. ¿Alguna pista?

Answer 1

Supongamos que el resultado para $k$ Entonces

\begin{align*} (k + 1)A^{k + 1} &= A\left(kA^k + A^k\right) \\ &= A \left(A^k B - B A^k + A^k\right) \\ &= A^{k + 1}B - ABA^k + A^{k + 1} \end{align*}

Ahora utiliza el hecho de que

$$AB = A + BA$$

para tratar los dos últimos términos.