Probabilidad inducida de la carta extraída de la baraja

Question

El problema:

Seleccione una carta de una baraja normal. El resultado $c$ es uno de estos $52$ tarjetas. Deje que $X(c) = 4$ si $c$ es un as, que $X(c) = 3$ si $c$ es un rey, que $X(c)=2$ si $c$ es una reina, que $X(c)=1$ si $c$ es un gato, y que $X(c)=0$ de lo contrario. Supongamos que $P$ asigna una probabilidad de $\frac{1}{52}$ a cada resultado $c$ . Describir la probabilidad inducida $P_X(D)$ en el espacio $\mathcal{D} = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$ .

Mi intento:

Este problema debería ser relativamente sencillo: presumiblemente, encontramos la función de masa de probabilidad hallando $$\sum_{d_j \in D} p_x(d_j), \,\,\,\, D \subset \mathcal{D}$$

Pero para hacer esto, necesitamos construir alguna tabla, y no estoy seguro de cuál debería ser. Lo más extraño es que el libro da cinco respuestas, que son $9/13$ , $1/13$ , $1/13$ , $1/13$ et $1/13$ .

Si pudiera averiguar cómo crear esta tabla y averiguar por qué tienen cinco respuestas lo tendría resuelto muy rápido.

Answer 1

$p(d_x)$ se da como $\frac1{52}$ para cada carta, por lo que sólo tenemos que contar, para cada elemento de $\mathcal{D}$ Cuántas tarjetas hay que $X$ envía a $\mathcal{D}$ y dividirlo por 52. Como hay cinco elementos de $\mathcal{D}$ , habrá cinco respuestas de este tipo.

Si D=0, entonces buscamos cartas que no sean jota, reina, rey o as. Hay 36 cartas de este tipo, por lo que obtenemos $\frac{36}{52}=\frac9{13}$ . Por lo demás, hay cuatro cartas, que dan $\frac4{52}=\frac1{13}$

Answer 2

Hay 5 resultados posibles que yo consideraría como As, Rey, Reina, Jota y "todas las demás cartas".

Hay una $\frac 1 {13}$ posibilidad de sacar un As; lo mismo para el Rey, la Reina, la Jota respectivamente y finalmente un $\frac 9 {13}$ posibilidad de sacar otro rango.

Así que esas son tus cinco probabilidades, y expresadas en términos de X (el valor asignado a esos rangos) deberían escribirse en el orden $\frac 9 {13}, \frac 1 {13}, \frac 1 {13}, \frac 1 {13}, \frac 1 {13}$ porque el espacio se describe en el orden 0,1,2,3,4 puntos.