A.e. de convergencia y de las normas implica que en $L^1$ norma

Question

Supongamos que $f_n$ es como la secuencia de funciones en $L^1[0,1]$ tal que $f_n$ converge pointwise e.a. $f\in L^1[0,1]$. Supongamos también que $\int \vert f_n\vert \rightarrow \int \vert f\vert$. ¿Es cierto que $f_n$ converge a $f$ en la $L^1$ norma?

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Del comentario de Javaman: $|f_n-f|\leqslant |f_n|+|f|$. Para que DCT se aplica. Desde $f_n\rightarrow f$ a.e. tenemos $\lim_n\int |f_n-f|=0.$es decir $\Vert f_n-f\Vert \rightarrow 0.$

Answer 1

Sí tienes razón. Lema de Fatou puede aplicarse aquí. Según Javaman, $|f_n-f|\le |f_n|+|f|$ es la clave. Entonces se aplica el lema % de $|f_n|+|f|-|f_n-f|\ge 0$, Fatou así. Es decir, $$\liminf_{n\to \infty}\int \left(|f_n|+|f|-|f_n-f|\right)\ge \int \liminf_{n\to \infty} \left(|f_n|+|f|-|f_n-f|\right)$ $

Por lo tanto, $$2\int |f|-\limsup_{n\to \infty}\int|f_n-f|\ge 2\int |f|$ $

Así $$\limsup_{n\to \infty}\int|f_n-f|\le 0$ $ y nosotros estamos hechos.