Demuestra que $\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$ utilizando funciones de momento

Question

Dejemos que $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ . Demostrar que $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$ utilizando funciones generadoras de momentos.

\begin{align*} M_Z(t)&=M_{\frac{X-\mu}{\sigma}}(t)\\ &=M_{X-\mu}\left(\frac t\sigma\right)\\ &=e^{-\mu t}M_X\left(\frac t\sigma\right)\\ &=e^{-\mu t}\cdot e^{\frac{t\mu}{\sigma}+\frac{t^2}{2}}\\ &=e^{-\mu t+\frac{t\mu}{\sigma}+\frac{t^2}{2}} \end{align*} No estoy seguro de cómo concluir que $Z\sim N(0,1)$ .

Answer 1

Como se menciona en los comentarios, su error es que $$M_{X-\mu}(t/\sigma) = e^{-\mu t/\sigma}M_X(t/\sigma)$$

Fijando esto se obtiene una expresión final de $M_Z(t) = e^{t^2/2},$ como se esperaba.