¿Cómo de cuasi-aleatorios son los grupos simples finitos no abelianos?

Question

Un grupo es $d$ -cuasirandom si toda representación compleja no trivial tiene dimensión al menos $d$ . Gowers introdujo el cuasirandomismo en este documento y demostró que todo grupo simple finito no abeliano de orden $n$ es $\sqrt{\log n}/2$ -quasirandom.

Pregunta: ¿Cuál es el límite inferior (asintótico) correcto para la cuasirandomidad de los grupos simples finitos no abelianos?

Gowers indica que un teorema de Jordan (Teorema 14.12 aquí ) implica un límite ligeramente mejor. De hecho, este teorema da que un grupo simple no abeliano de orden $n$ tiene una representación no trivial de dimensión $d$ sólo si $n\leq (d!)12^{d(\pi(d+1)+1)}$ lo que implica que estos grupos son $\Omega(\sqrt{\log n\log\log n})$ -quasirandom.

Por supuesto, el límite correcto debería poder obtenerse utilizando la clasificación de los grupos simples finitos. Los grupos esporádicos son irrelevantes para la asintótica, y los grupos alternos son $\Omega(\log n/\log\log n)$ -quasirandom. Queda por estudiar los grupos de tipo Lie. Lo que quiero se puede leer en la primera columna de las tablas de caracteres genéricos de estos grupos, pero para mi sorpresa, éstas no se conocen todavía (ver la respuesta de LeechLattice aquí ). Curiosamente, la respuesta aquí describe cómo encontrar un límite superior en la representación no trivial más pequeña en estos casos, mientras que yo quiero un límite inferior.

Answer 1

Supongamos que $G$ es un grupo simple finito de orden $n$ con una representación no trivial de grado $d$ . Entonces $G$ es isomorfo a un subgrupo de $U(d)$ . Por la versión aguda de Collins del teorema de Jordan ( https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/JGT.2007.032/html ), $G$ tiene un subgrupo normal abeliano de índice a lo sumo $(d+1)!$ que debe ser trivial ya que $G$ es simple, así que $|G| \leq (d+1)!$ . Reacomodando, $d \gtrsim \log n / \log\log n$ .

El trabajo de Collins se basa en un trabajo de Weisfeiler que creo que estaba inacabado en el momento de su desaparición.

Editar: Especialización a lo simple $G$ en realidad reduce el artículo de Collins a una referencia al artículo de Seitz y Zalesskii ( https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021869383711324?via%3Dihub ) mencionada por David Craven en los comentarios, así que ese es realmente el meollo de la cuestión. De este modo, obtenemos el límite ligeramente más fuerte $n \leq (d+1)!/2$ (para un tamaño suficientemente grande $d$ ). Aparte de la alternancia de grupos creo que se puede leer una ligadura mucho más fuerte como $n \leq \exp O((\log d)^2)$ o $d \geq \exp \Omega( (\log n)^{1/2})$ (Supongo que el siguiente caso peor es $\mathrm{SL}_n(2)$ ).