Considere $\mathbb{N} \times \mathbb{Q}$ como una topología de subespacio de $\mathbb{R}^2$ con la topología habitual. Consideremos el conjunto $A = \{(n,\frac{1}{n}) : n \in \mathbb{N}\}$ . Es $A$ ¿cerrado, abierto? ¿Cuál es el límite de $A$ en $\mathbb{N} \times \mathbb{Q}$ ?
Mi intento:
Los conjuntos abiertos básicos en $\mathbb{N} \times \mathbb{Q}$ será de la forma $n \times (a,b)\cap \mathbb{Q}$ donde $(a,b)$ está abierto el $\mathbb{R}$ .
Por lo tanto, para una $n$ , $\{(n, \frac{1}{n})\}$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{N} \times \mathbb{Q}$ . $A$ es una unión contable si es un conjunto cerrado.
Estar abierto para cualquier punto $a \in A$ obtendremos un conjunto abierto básico $B$ s.t. $a \in B \subset A$ . No se sostiene. Así que $A$ no es un conjunto abierto.
$\mathbb{N} \times \mathbb{Q} - A = \cup_n [n \times ((-\infty, \infty) - \frac{1}{n}) \cap \mathbb{Q}]$ es una unión contable de conjuntos abiertos $n \times ((-\infty, \infty) - \frac{1}{n}) \cap \mathbb{Q}$ . Así que $\mathbb{N} \times \mathbb{Q} -A$ es un conjunto abierto y por tanto $A$ es un conjunto cerrado.
El límite de $A$ está vacía.
¿Es correcto mi intento? Gracias por su ayuda.
