Si $z_1 - z_2 \in \Lambda$ entonces $f(z_1) - f(z_2) \in \Lambda'$ . Demostrar que $f(z) = az + b$

Question

Dejemos que $f$ sea una función entera. Sea $\Lambda, \Lambda' \subset \mathbb{C}$ sean retículos con periodos $1,\tau$ y $1, \tau'$ respectivamente. Para cualquier $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ con $z_1 - z_2 \in \Lambda$ tenemos $f(z_1) - f(z_2) \in \Lambda'$ . Demostrar que $f$ es una función afín, por lo que $f(z) = az + b$ .

Este es un ejercicio que quiero resolver, pero no sé cómo. He pensado en utilizar una función $g(z,w) := f(z+w) - f(z)$ . Si $f$ es realmente una función afín, entonces $g$ debería ser constante si fijamos $w$ . Si arreglamos $z$ entonces $g$ debe comportarse como una función lineal. Además, si $w \in \Lambda$ entonces también $g(z,w) \in \Lambda'$ . Estos eran mis pensamientos hasta ahora, pero realmente no veo cómo continuar desde aquí, o cómo probar las dos primeras afirmaciones. ¿Puede alguien darme una pista, lo que debería considerar?

Edición: Si arreglamos $w$ con $w \in \Lambda$ entonces $g(z,w) \in \Lambda'$ pero como $\Lambda'$ es un conjunto discreto, si cambiamos $z$ un poco, entonces todavía debemos permanecer en el mismo punto en $\Lambda'$ no podemos "saltar" a otro punto porque $g$ es continua. Así que vemos que $g_w(z)$ debe ser constante.

Answer 1

Pistas: Tome $g_\omega(z)=f(z + \omega)-f(z)$ para cualquier $\omega\in\Lambda$ . Es $g_\omega$ ¿constante? ¿Qué hace $g_\omega$ ¿se parece a la imagen de la empresa (discreta)? Entonces $g_\omega$ es ... Ahora diferenciando $g_\omega$ da $g_\omega'=f'(z+\omega)-f'(z)$ . ¿Cuál es el valor de este derivado? Entonces es $f'$ ¿Periódico? ¿Holomórfico? ¿Podemos aplicar aquí el teorema de Liouville?

Bueno, voy a poner los detalles aquí.

Como ha dicho, para la arbitrariedad $\omega\in\Lambda$ tenemos $g_\omega$ constante. Por lo tanto, $g'_\omega=0=f'(z+\omega)-f'(z)$ para cualquier $z$ y $\omega\in \Lambda$ . Así, $f'$ es holomorfa (por $f$ La holomorfía de la mujer $\implies $ analítica) y $\Lambda$ -periódico. Por lo tanto, está acotado y por el teorema de Liouville, este mapa es constante. Por lo tanto, su antiderivada $f$ es de la forma $z\mapsto mz+b$ para algunos $m,b\in\mathbb{C}$ .

Se puede utilizar exactamente el mismo argumento para demostrar que todos los mapas holomorfos entre dos curvas elípticas $\varphi: \mathbb{C}/\Lambda\to\mathbb{C}/\Lambda'$ tiene la forma $[z]\mapsto [mz+b]$ . Lo único que hay que hacer es levantar $\varphi$ a algún mapa holomórfico $\tilde{\varphi}:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ del espacio de cobertura universal del toro donde la elevación se denota por $f$ en su caso.