¿Lo que ' s el dual de "imagen inversa" en conjunto?

Question

Mi libro define la "inversa de la imagen" como la retirada de una de morfismos $f:A\to B$ y un monomorphism $i:C \rightarrowtail B$.

Si la categoría está bajo consideración de Conjunto, y podemos interpretar $i$ como la inclusión $C \subseteq B$, con el objeto de que se complete la retirada de la plaza puede ser interpretado como el subconjunto $f^{-1}(C)$ donde $f^{-1}$ indica el estándar (es decir, conjunto-teórico) inversa de a $f$, considerado como una función de conjuntos. (De ahí el nombre de esta construcción.) El resto de las flechas en el pullback corresponden (esencialmente) para la inclusión $f^{-1}(C) \subseteq A$ y la restricción de $f$$f^{-1}(C)$.

Es posible dar una interpretación útil (en Conjunto) para el doble de esta construcción?

La mejor que se me ocurre es la de producir el pushout diagrama para la morfismos $f^{\;\mathrm{op}}:\mathcal{P}(B)\to \mathcal{P}(A)$ $i^{\;\mathrm{op}}:\mathcal{P}(B)\twoheadrightarrow \mathcal{P}(C)$ (donde $\mathcal{P}(X)$ denota el poder establecido de $X$), la derivada de la función recíproca de $f$$i$. El objeto que completa este pushout plaza es, de hecho,$\mathcal{P}(f^{-1}(C))$, pero esto no es muy esclarecedor de la construcción. En particular, no proporciona ningún tipo de interpretación significativa a la "epicity" de $i^{\;\mathrm{op}}$ ir con la interpretación de la monicity de $i$ como la inclusión $C \subseteq B$.

(Básicamente, estoy en busca de una interpretación basada en el pushout de un morfismos $g:B \to A$ y una épica de morfismos $\sigma:B\twoheadrightarrow B/R$ donde $B/R$ indica el cociente del espacio de $B$ con respecto a algunos adecuada equivalencia de la relación de $R$$B$. El truco está en definir el "adecuado" de equivalencia de la relación de $R$, y el de objetos y morfismos que completar el pushout el diagrama).

Gracias!

Answer 1

La clave aquí es que, al igual que monic en $B$ puede ser identificado con los subconjuntos de a $B$, la épica de $B$ puede ser identificado con las relaciones de equivalencia en $B$ (determinado $p\colon B\to C$, definir $b\sim b'$ si $p(b)=p(b')$; entonces existe un natural bijection entre el $C$ y el conjunto de sus embarazos únicos, y hay una natural bijection entre el conjunto de singleton y el conjunto de clases de equivalencia en $B$ bajo $\sim$). El doble de la inversa de la imagen va a ser la equivalencia de cierre de la imagen de esta relación de equivalencia.

Para el dual de la construcción empezamos, como nota, con una función de $f\colon B\to A$, y un epi $p\colon B\to C$, y mirar el pushout diagrama $$\begin{array}{ccc} B & \stackrel{f}{\to} & A\\ {\tiny p}\downarrow & &\\ C & & \end{array}$$ Luego nos forma el pushout $$\begin{array}{ccc} B & \stackrel{f}{\to} & A\\ {\tiny p}\downarrow & &\downarrow\\ C &\to & Y. \end{array}$$ $Y$ puede ser identificado con la inconexión de la unión modulo una relación de equivalencia, $$Y = A\amalg C/\sim$$ donde $\sim$ es el más pequeño de equivalencia de la relación en $A\amalg C$ tal que $f(b)\sim p(b)$. Es algo lamentable que esto es más difícil de averiguar que el pullback...

Debido a $p$ es epi, que significa que por cada $c\in C$ existe $a\in A$ tal que $a\sim c$. Así que podemos aprovechar $A$ como un paso intermedio entre el$A\amalg C$$Y$. Ahora tenga en cuenta que si $p(b)=p(b')$,$f(b)\sim f(b')$. Así que vamos a $R$ ser la relación de equivalencia inducida en $B$$p$, es decir, $bRb'$ si y sólo si $p(b)=p(b')$, y deje $S$ ser el más pequeño de equivalencia de la relación en $A$ que contiene $f(R)$. Esta es la más pequeña de equivalencia de la relación en $A$ para que la inducida por la función $\overline{f}\colon B/R\to A/S$ está bien definido.

Si $aSa'$, entonces cualquiera de las $a=a'$ o de lo contrario no existe $a_1,\ldots,a_n\in A$ tal que $a=a_1$, $a'=a_n$, y para cada una de las $i$ tenemos $(a_i,a_{i+1})\in f(R)$ o $(a_{i+1},a_i)\in f(R)$. Pero desde $R$ es simétrica, esto es equivalente a pedir que $(a_i,a_{i+1})\in f(R)$; por lo tanto, no existe $b_i,b_{i+1}\in B$ tal que $p(b_i)=p(b_{i+1})$ y $f(b_i)=a_i$, $f(b_{i+1})=a_{i+1}$. Por lo $aSa'$ si y sólo si $a=a'$, o de no existir $b_1,\ldots,b_n\in B$ con $f(b_1)=a$, $f(b_n)=a'$, y para $i$, $1\leq i\lt n$, $p(b_i) = p(b_{i+1})$. Pero para que esto se sostenga, debemos tener $p(b_1)=p(b_2)=\cdots=p(b_n)$. Por lo $aSa'$ si y sólo si $a=a'$, o de lo contrario no existe $b,b'\in B$ con $p(b)=p(b')$, $a=f(b)$, y $a'=f(b')$.

Yo reclamo que $A/S$ es el pushout. Encaja en el pushout diagrama, mediante la asignación de $A$ como el cociente, y la asignación de $C$ tomando $c\in C$, la selección de cualquier preimagen de $c$$B$, y la asignación de este a $A$ través $f$ y, a continuación, a $A/S$. Esto está bien definido, por definición, de $S$, y hace que el diagrama conmutativo.

Deje $Z$ ser cualquier conjunto, y $h\colon C\to Z$ $m\colon A\to Z$ mapas que $h\circ p = m\circ f$. Yo reclamo que $m$ factores a través de $S$. Si $aSa'$, entonces cualquiera de las $a=a'$, en cuyo caso $m(a)=m(a')$; o de lo contrario no existe $b,b'\in B$ tal que $p(b)=p(b')$, $f(b)=a$, y $f(b') = a'$. Entonces $$m(a) = m(f(b)) = h(p(b)) = h(p(b')) = m(f(b')) = m(a').$$ Por lo tanto, $m$ factores a través de $A/S$.

Yo reclamo que $h$ también factores a través de $A/S$. Si $c$ $c'$ mapa para el mismo elemento de $A/S$, entonces no existe $b,b'\in B$ con $p(b)=c$, $p(b') = c'$, y $[f(b)]=[f(b')]$$A/S$. Pero $[f(b)]=[f(b')]$ $A/S$ implica que cualquiera de las $f(b)=f(b')$, en cuyo caso tenemos $$h(c) = h(p(b)) = m(f(b)) = m(f(b')) = h(p(b')) = h(c'),$$ o bien que no existe $x,x'\in B$ con $f(x)=f(b)$, $f(x')=f(b')$, y $p(x)=p(x')$. Entonces tenemos $$\begin{align*} h(c) &= h(p(b)) = m(f(b)) = m(f(x)) = h(p(x))\\ &= h(p(x')) = m(f(x')) = m(f(b')) = h(p(b'))\\ &= h(c'). \end{align*}$$ Así que de cualquier manera, $h$ factores a través de $A/S$.

Por lo tanto, $A/S$ es el pushout del diagrama.

Así que, para responder a su pregunta: dada una función de $f\colon B\to A$ y un epi $p\colon B\to C$, identificar a $p$ con la equivalencia de la relación en $B$ que determina que; a continuación, considere el más pequeño de equivalencia de la relación en $A$ que contiene la imagen de esta relación de equivalencia; y tomar el cociente de $A$ modulo de que la relación de equivalencia.

Answer 2

Arturo de la respuesta (que ya he aceptado) realmente las uñas, pero aquí me gustaría agregar algo de lo que he aprendido de su estudio (y que otros pueden encontrar útil). (Comentarios a continuación desesperadamente grito de diagramas, pero por desgracia mi Látex-fu no es hasta la tarea. Por lo tanto, puede ser una buena idea para seguir con lápiz y papel en la mano.)

[Algunas anotaciones: si $f$ $g$ son morfismos $f;g$ se define como $g\circ f$. Yo uso $\langle x, 0\rangle$ $\langle y, 1\rangle$ a se refieren a los elementos de la inconexión de la unión de $X \amalg Y$ de los conjuntos de $X$ $Y$ siempre $x \in X$$y \in Y$. Si $f:X\to Y$ es un surjective función, voy a utilizar $E_f$ a representar la relación de equivalencia inducida por $f$$X$, es decir,

$$E_f = \{(x, x'): f(x) = f(x')\} \subseteq X \times X$$

Voy a utilizar la abreviatura $X/f$, en lugar de $X/E_f$, para representar el cociente de $X$ con respecto al $E_f$. Para cualquier relación $R \subseteq X \times X$, usaré $\overline{R}$ a representar la equivalencia de cierre de $R$ (es decir, el más pequeño de equivalencia de la relación en $X$ que contiene $R$). Además, para cualquier función de $f:X\to Y$, la taquigrafía $f(R)$ denota la relación en $Y$$\{(f(x), f(x')):x, x' \in X\}$. Yo uso ambos $\prod$ $\times$ para referirse al producto de conjuntos, para enfatizar su categórica o su aspecto teórico, respectivamente.]

En primer lugar, al comienzo de su respuesta Arturo señala que el pushout $Y$ puede ser identificado con $A \amalg C/\!\!\!\sim$ donde $\sim$ es la equivalencia de cierre de $$ \{\,(\;\langle f(b), 0 \rangle, \;\;\langle p(b), 1 \rangle\;)\;\;|\;\;b \in B\,\}\;\; \subseteq (A\amalg C) \times (A\amalg C). $$ De hecho, vale la pena darse cuenta de que esa construcción de la pushout en Conjunto es posible para cualquier par de funciones con un dominio común, incluso cuando ninguno de ellos es un surjection.

Segundo, se desprende de Arturo derivación que en este caso especial (donde $p:B \twoheadrightarrow C$ es un surjection), el pushout $A \amalg C/\!\!\!\sim$ resulta ser Establecido-isomorfo a un cociente de $A/\!\!\!\sim$$A$, y es interesante ver por qué esto es. (No hace falta decir que el "$\sim$ " $A \amalg C/\!\!\!\sim$ es necesariamente una diferente relación de equivalencia de la "$\sim$"$A/\!\!\!\sim$.) Como señaló Arturo, el surjectivity de $p$ asegura que cada clase de equivalencia en $A \amalg C/\!\!\!\sim$ contiene un elemento $a$ que "vino de $A$" (en la inconexión de la unión de $A \amalg C$, que es). (Por CIERTO, creo que esta es la clave de la observación; es el único que me faltaba.) Por lo tanto, en este caso, si interpretamos $A \amalg C/\!\!\!\sim$ como una partición de $A \amalg C$, es fácil ver que, por la eliminación de todas las $C$-elementos de las clases de esta partición, se obtiene un (Set-isomorfo) partición de $A$. (Tenga en cuenta que este podría no ser el caso si la partición de $A \amalg C$ contenía una clase formada sólo de $C$-elementos, que es lo que sucede cuando $p$ no es surjective.) La nueva partición por este procedimiento representa claramente un cociente $A/\!\!\!\sim'$, y este cociente se Establece-isomorfo a $A \amalg C/\!\!\!\sim$. No es difícil demostrar que el cociente $A/\!\!\!\sim'$ sugerido por este informal argumento es el mismo que el cociente $A/\!\!\!\sim$ producido por Arturo más profundo de uno.

En tercer lugar, es interesante ver cómo la contraparte (a través de la dualidad) de este Conjunto-isomorfismo

$$\frac{A \amalg C}{\sim} \simeq \frac{A}{\sim}$$

se muestra en la construcción original de la inversa de la imagen. Para ello, es conveniente, en primer lugar contraste de las construcciones (en Conjunto) de la pushout para las funciones de $\alpha:Z\to X$ $\beta:Z\to Y$ y el retroceso de las funciones de $\gamma:U\to W$$\delta:V\to W$. Como ya se ha descrito, el pushout de $\alpha$ $\beta$ es el cociente $X \amalg Y/\!\!\!\sim_{\alpha, \beta}$ $X\amalg Y$ por la relación de equivalencia

$$ \sim_{\alpha, \beta}\;\;=\;\;\{\,(\;\langle \alpha(z), 0 \rangle, \;\;\langle \beta(z), 1 \rangle\;)\;\;|\;\;z \Z\,\}. $$

Dualmente, la retirada de $\gamma$ $\delta$ es el subconjunto $U\times_{\gamma, \delta}V$ $ U\;\Pi\; V$ dada por

$$ U\times_{\gamma \delta}V = \{(u, v):\gamma(u) = \delta(v)\} $$

Los morfismos que completar el pushout diagrama de $\alpha:Z\to X$ $\beta:Z\to Y$ son las composiciones de la canónica de inclusiones $\iota_X:X\hookrightarrow X \amalg Y$ $\iota_Y:Y\hookrightarrow X \amalg Y$ con la proyección de $X \amalg Y$ en el cociente $X \amalg Y/\!\!\!\sim_{\alpha,\beta}$. De hecho, el pushout $X \amalg Y/\!\!\!\sim_{\alpha, \beta}$ es el coequalizer de $\alpha;\iota_X:Z\to X \amalg Y$$\beta;\iota_Y:Z\to X \amalg Y$.

Asimismo, los morfismos que completar la retirada de diagrama de $\gamma:U\to W$ $\delta:V\to W$ son las composiciones de la inclusión de las subconjunto $U\times_{\gamma, \delta}V$ a $U\;\Pi\; V$ con las proyecciones canónicas $\pi_U:U\;\Pi\; V \twoheadrightarrow U$$\pi_V:U\;\Pi\; V \twoheadrightarrow V$. De hecho, el retroceso $U\times_{\gamma, \delta}V$ es el ecualizador de $\pi_U;\gamma$$\pi_V;\delta$.

Además, en el caso especial donde, dicen, $\beta:Z\to Y$ pasa a ser surjective el pushout $X \amalg Y/\!\!\!\sim_{\alpha, \beta}$ se convierte en Conjunto-isomorfo con algunos cociente $X/\!\!\!\sim$ $X$ (como Arturo derivación mostró). Por lo tanto, en este caso, el mapa de $X \to X \amalg Y/\!\!\!\sim_{\alpha, \beta}$ es en realidad una proyección (es decir, se surjective). Puede ser interpretado como el "push-forward" (o "[en adelante] imagen") de la equivalencia $E_\beta$ inducida por $\beta$$Z$.

Asimismo, en el caso especial en el que, dicen, $\delta:V\to W$ pasa a ser inyectiva el pullback $U\times_{\gamma, \delta}V$ se convierte en Conjunto-isomorfo a un subconjunto $\gamma^{-1}(\delta(V))$$U$. (Este último isomorfismo es una consecuencia del hecho de que, al $\delta$ es inyectiva, para cada $u \in U$ hay un $v \in V$ tal que $(u, v) \in U\times_{\gamma, \delta}V$, por lo $U\times_{\gamma, \delta}V$ es Set-isomorfo a su inclusión (a través de $U\;\Pi\; V$) a $U$.) No es difícil mostrar que esta inclusión es la inversa de la imagen $\gamma^{-1}(\delta(V)) \subseteq U$.

Por último, (y ahora la conducción de la analogía en la otra dirección), la "inversa de la imagen", nos dice algo acerca de cómo una función de mapas de subconjuntos de su dominio en subconjuntos de su codominio; el "co-inversa de la imagen", o, de forma más natural, "adelante" imagen", nos dice algo acerca de cómo una función de mapas cociente de su dominio sobre los cocientes de su codominio (es decir, por "empujando hacia adelante", con la función, la equivalencia en el dominio, y la expansión de la resultante de la relación en el codominio sólo lo suficiente para convertirlo en una auténtica relación de equivalencia).

Más precisamente, la "inversa de la imagen" $\gamma^{-1}(V)$ es el mayor subconjunto de $U = \mathrm{dom}(\gamma)$ que, cuando el $\gamma$ se limita a ello, se asigna a $V \subseteq \mathrm{cod}(\gamma)$. Asimismo, su doble, $X/\!\!\!\sim$ (el "co-inversa de la imagen"), que se obtiene como Arturo descrito, es el cociente de $X = \mathrm{cod}(\alpha)$ inducida por el más pequeño de equivalencia $\sim$ $X$ a que $\alpha$ mapa de la equivalencia $E_{\beta}$$Z = \mathrm{dom}(\alpha)$, es decir, en la notación descrita al principio de este post $\sim\;=\;\overline{\alpha(E_{\beta})}$.

Para mí este ejemplo realmente lleva a cabo las íntimas conexiones que existen entre los pullbacks, ecualizadores, productos, inyecciones/inclusiones/subconjuntos, y "restringir" una función, por un lado, y entre pushouts, co-ecualizadores, co-productos, surjections/proyecciones/cocientes, y "coarse-graining" una función de la otra.

En todas las categoría de la teoría de los libros que he mirado, estos resultados se metió debajo de la alfombra con un rápido movimiento en la "dualidad". Como creo que este ejemplo muestra que, vale la pena exactamente qué es lo que la dualidad conlleva.