Probabilidad del número de personas que conocen un rumor

Question

Supongamos que entre un grupo de $n$ personas, un número desconocido de personas $K$ conozco un rumor. Si alguien conoce el rumor, hay una probabilidad $p$ que nos lo contarán si se lo pedimos. Si no conocen el rumor siempre dirán que no lo conocen.

Si voy por ahí y le pregunto a cada persona si sabe del rumor, y $M$ la gente dice que sí, ¿qué me dice eso sobre el número de personas que realmente conocen el rumor?

En particular, ¿cuál es la distribución $P(K=k|M=m)$ en términos de $P(K)$ ?

Editar:

He podido demostrar que

$P(K=k|M=m)=\frac{b(m,k,p)P(K=k)}{\sum_{j=m}^{n-1}b(m,j,p)P(K=j)}$

donde $b(m,k,p)$ es la función de densidad binomial (probabilidad de $m$ éxitos de $k$ ensayos con probabilidad $p$ de éxito). ¿Es posible llevar esto más lejos?

Answer 1

Para el valor esperado/media, podemos ignorar por completo a las personas que no han oído el rumor. Deberíamos encontrar que $M=pK$ Lo cual tiene sentido, ya que las personas que no han oído el rumor no añadirán nada al número de personas que te dicen que han oído el rumor. Esto significa que $K\approx\frac M p$ . Por desgracia, esto es sólo la media, y no una distribución. Ahora, lo que vamos a hacer es reescribir $M$ como una distribución binomial, por lo que $P(X=M)={K\choose M}\cdot p^M\cdot(1-p)^{K-M}$ , donde $M$ es el número de personas que responden afirmativamente y $K$ es el número total de personas que conocen el rumor. Ahora, queremos arreglar $M$ y que $K$ variar. En primer lugar, sabemos que $M\leq K$ Así que $P(K=x)=0\quad(\forall x<M)$ . Para $x\geq M$ podemos utilizar $$P(X=K|M=m)=\frac{{K\choose M}\cdot p^M\cdot(1-p)^{K-M}}{\int_M^\infty {K\choose M}\cdot p^M\cdot(1-p)^{K-M} dK}$$ Simplificando al considerar $p$ y $M$ son constantes, obtenemos $$\frac{{K\choose M}\cdot(1-p)^K}{\int_M^\infty{X\choose M}\cdot(1-p)^X dX}$$ Podemos hacer una última deducción para simplificar esto, a saber $K\leq n$ . Esto significa que podemos sustituir el $\infty$ con un $n$ para conseguir $$\frac{{K\choose M}\cdot(1-p)^K}{\int_M^n{X\choose M}\cdot(1-p)^X dX}$$ Lo he hecho continuo, pero puedes hacerlo discreto sustituyendo la integral por una suma. $$\frac{{K\choose M}\cdot(1-p)^K}{\sum_{X=M}^n{X\choose M}\cdot(1-p)^X}$$

En resumen, he modelado la probabilidad de que tengas $M$ gente que te dice si $K$ la gente sabía y si tenían una probabilidad de $p$ de decirte usando la distribución binomial. Entonces asumí que $M\leq K \leq n$ y tenía una distribución uniforme porque no se especificaba ninguna distribución. Entonces fijé $M$ desde que se sabe y se deja $K$ variar. Entonces encontré la probabilidad de que $M$ de $K$ personas que conocían el rumor y lo normalizaron en todas las posibles $K$ s.

Answer 2

Si conoce la distribución de $K$ puedes hacer lo siguiente.

Claramente, tenemos $m\leq k$ porque no puede haber más gente contando el rumor que los que realmente lo saben (suponemos que la gente es honesta aquí).

Así que para $$\forall k\lt m \space P[K=k \vert M=m] = 0$$

A continuación, sabemos que entre los restantes $(n-m)$ gente, algunos conocen el rumor y otros no.

Por lo tanto, puedo afirmar que $(k-m)$ la gente conoce el rumor y no me lo dijo mientras los otros $(n-k)$ simplemente no lo sé.

Tenga en cuenta que $(n-m) \ge (k-m)$ .

Así que $$P[K=k \vert M=m] = P[\{K=k-m\}\cap\{M=0\}]$$

$$P[M=0 \vert K=k-m]P[K=k-m] = (1-p)^{k-m}P[K=k-m]$$

Espero que esto sea de ayuda.