Fórmula general de respuesta exponencial [ODE]

Question

Estoy leyendo el PDF del MIT aquí: http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-equations-fall-2011/unit-ii-second-order-constant-coefficient-linear-equations/exponential-response/MIT18_03SCF11_s14_4btext.pdf

La segunda pregunta es

y la solución es :

Mi pregunta es, ¿cómo pasan de la forma compleja a la forma real? Re(z), que es esta operación.

Además, si la función hubiera sido sin(t) en lugar de cos(t) en la EDO, entonces tomaría Im(z), ¿cómo hago esta operación también?

Un ejemplo en el que podría aplicarse es digamos que x''+5'x+6x = sin(5t)

Answer 1

$Re(x)$ te da la parte real: $Re(x) = Re(a + bi) = cos(a)$

$Im(x)$ te da la parte imagniaria: $Im(x) = Re(a + bi) = sin(b)$

En su ejemplo: $x_P = Re(z_p) = Re(\frac{te^{-t}( cos(t) + i sin(t) )}{2i}) = Re(\frac{te^{-t}cos(t)}{2i} + \frac{te^{-t}sin(t)}{2}) = Re(-\frac{ite^{-t}cos(t)}{2} + \frac{te^{-t}sin(t)}{2}) = \frac{te^{-t}sin(t)}{2}$

$Im(z_p) = Im(-\frac{ite^{-t}cos(t)}{2} + \frac{te^{-t}sin(t)}{2}) = -\frac{te^{-t}cos(t)}{2}$ .

Answer 2

Tomemos el ejemplo que tienes. $$x'' + 5x' + 6x = \sin 5t.$$ entonces $$x = e^{\lambda t} $$ es una solución de la ecuación homogénea si $$\lambda^2 + 5 \lambda + 6 = 0 \to \lambda = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}=-2, -3$$ Por desgracia, esta ecuación no tiene raíces complejas.

intentemos en su lugar $$x'' + 4x' + 6x = \sin 5t.$$ la ecuación char es $$\lambda^2 + 4 \lambda + 6 = 0 \to \lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2}=-2\pm\sqrt 2i$$

se puede verificar que ambos $$ x = e^{-2t}\cos\sqrt 2 t,\, x = e^{-2t}\cos\sqrt 2 t $$ satisfacen la ecuación homogénea.

estas dos soluciones pueden pensarse como procedentes de las partes real e imaginaria de $$e^{-2t + i\sqrt 2t} = e^{-2t}\left( \cos \sqrt 2 t + i \sin \sqrt 2 t\right).$$ he utilizado la fórmula de eulers $e^{it} = \cos t + i \sin t.$