Así que me han pedido que encuentre $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$ cuando $\tan(\theta)=\cfrac{12}{5}$ mi pregunta es si $\tan (\theta)=\cfrac{\sin (\theta) }{\cos (\theta)}$ ¿significa esto que porque $\tan (\theta)=\cfrac{12}{5}$ entonces $\sin (\theta) =12$ y $\cos(\theta)=5$ ?
No parece ser el caso en este ejemplo, porque $\sin (\theta)\ne 12 $ y $\cos (\theta)\ne 12 $ .
¿Puede alguien decirme dónde está el error en mi pensamiento?
El error es que $\tan\theta$ simplemente da la relación de $\sin\theta$ y $\cos\theta$ . Si se da como una fracción, eso no significa que el numerador deba ser $\sin\theta$ y el denominador debe ser $\cos\theta$ . Es necesario utilizar las identidades trigonométricas para resolver $\sin\theta$ y $\cos\theta$ .
Tenemos
$$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$$
así que
$$\cos\theta=\sqrt[]{\frac{1}{1+\tan^2\theta}}=\sqrt[]{\frac{1}{1+(\frac{12}{5})^2}}=\sqrt[]{\frac{25}{169}}=\pm\frac{5}{13}$$
Entonces por la identidad trigonométrica $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ tenemos
$$\sin\theta=\sqrt[]{1-\cos^2\theta}=\sqrt[]{1-\frac{25}{169}}=\sqrt[]{\frac{144}{169}}=\pm\frac{12}{13}$$
Ahora bien, como $\tan\theta>0$ , $\theta$ está en el primer o tercer cuadrante, por lo que $\sin\theta$ y $\cos\theta$ tienen el mismo signo. Así que
$$(\sin\theta,\cos\theta)=(\frac{12}{13},\frac{5}{13}) \text{ or } (\sin\theta,\cos\theta)=(-\frac{12}{13},-\frac{5}{13})$$
Verificando nuestra respuesta,
$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\pm\frac{12}{13}}{\pm\frac{5}{13}}=\frac{12}{5}$$
como decía el problema.
Matemáticamente, si
$\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ no implica que $a=c$ y $b=d$ .
En trigonometría, existe una terminología llamada triples pitagóricos. Son los triples que satisfacen la fórmula pitagórica $a^2+b^2=c^2$ . Algunos de los triples famosos son 3, 4, 5;1, $\sqrt{3}$ , 2; 5, 12, 13.
Ahora, con respecto a su pregunta, el número que falta en el triplete es el 13. Y en segundo lugar, la relación $\frac{opposite}{adjacent}$ = $\frac{12}{5}$ . Por lo tanto, la hipotenusa debe ser 13 unidades. Por lo tanto $sin(\theta)=\frac{12}{13}$ y $cos(\theta)=\frac{5}{13}$
Un enfoque general para los problemas en los que se sabe
$$ \frac{x}{y} = \frac{a}{b} $$
es introducir una nueva variable $z$ y convertir la ecuación anterior en las tres siguientes:
$$ x = az \qquad y = b z \qquad z \neq 0 $$
Ejercicio: demostrar que toda solución para $(x,y)$ a la ecuación original es también una solución para el sistema de ecuaciones.
Ejercicio: demostrar que toda solución para $(x,y,z)$ al sistema de ecuaciones es también una solución a la ecuación original.
El error en su pensamiento es que $x=a$ y $y=b$ es sólo una de las muchas soluciones posibles de la ecuación original para $(x,y)$ . Si todo lo que sabes es que el $(x,y)$ que está buscando es a solución, no tiene ninguna razón para creer que tiene que ser la particular solución $x=a$ y $y=b$ .
El punto de hacer esta conversión es que has reducido dos variables a una sola: puedes sustituir $x \to az$ y $y \to bz$ en todas las demás ecuaciones y ahora hay una variable menos para resolver.
Por supuesto, se puede resolver simplemente para $x$ :
$$ x = \frac{ay}{b} $$
pero a veces la variación de la sustitución que describo arriba es más sencilla de trabajar.
En cualquier caso, volviendo al problema original, hay que encontrar otra ecuación que implique $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$ antes de proceder a resolverlos.
De acuerdo, $$tan(\theta)=\frac{12}{5}$$ . Esto significa que en un triángulo rectángulo, la relación entre la perpendicular y la base es $$\frac{P}{B}=\frac{12}5$$ por lo que la Hipotenusa se convierte en $$\sqrt{(12)^2 + (5)^2}=13$$
Ahora calcular el seno y el cos será fácil para ti, estoy seguro. :)
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