Encuentre el valor exacto de $\sin (\theta)$ y $\cos (\theta)$ cuando $\tan (\theta)=\frac{12}{5}$

Question

Así que me han pedido que encuentre $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$ cuando $\tan(\theta)=\cfrac{12}{5}$ mi pregunta es si $\tan (\theta)=\cfrac{\sin (\theta) }{\cos (\theta)}$ ¿significa esto que porque $\tan (\theta)=\cfrac{12}{5}$ entonces $\sin (\theta) =12$ y $\cos(\theta)=5$ ?

No parece ser el caso en este ejemplo, porque $\sin (\theta)\ne 12 $ y $\cos (\theta)\ne 12 $ .

¿Puede alguien decirme dónde está el error en mi pensamiento?

Answer 1

Sólo porque $\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$ lo hace no necesariamente se deduce que $a=c$ o que $b=d.$

Por ejemplo $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ pero $2 \neq 4$ y $3 \neq 6$ .

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En su caso, ya que $\tan(\theta)=\frac{12}{5},$ tenemos que $$\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\frac{12}{5} \iff \boxed{5 \sin(\theta)=12\cos(\theta)},$$ que es no lo mismo que decir que $\color{red}{\sin(\theta)=12 \ \rm{and} \ \cos(\theta)=5 \ (\rm{wrong})}.$

Answer 2

Este es un buen comienzo; estás a punto de conseguir un factor de escala. En otras palabras, $\sin\theta$ y $\cos\theta$ están en una proporción de 12 a 5, pero no son necesariamente iguales a esos valores. (Y de hecho no pueden ser iguales a esos valores).

Set $\sin\theta = 12k$ y $\cos\theta = 5k$ entonces utiliza el hecho de que $\sin^2\theta + \cos^2\theta=1$ .

Answer 3

Son razones trigonométricas. El tan de cualquier ángulo da la razón de los lados opuestos y adyacentes a ese ángulo.

Ahora que tienes tan theta = 12/5, esto significa simplemente que tan theta = y/x por lo tanto y = 12, x = 5. Ahora si usas Pitágoras, obtendrás

$$ \begin{align} & r^2 = y^2 + x^2 \\ & r^2 = 12^2 + 5^2 \\ \text{which is} \ & r = \sqrt{(144+25)} = \sqrt{(169)} = 13 \end{align} $$

Así, $ r = 13. $

Así que $$ \sin \theta = \cfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} $$

Que es $\cfrac{y}{r} = \cfrac{12}{13} $

y $$\cos \theta = \cfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$$

que es $\cfrac{x}{r} = \cfrac{5}{13}.$

Answer 4

La mayoría de las soluciones anteriores suponen, erróneamente que $\theta$ es agudo, es decir $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}.$ Aquí doy todos los casos para $0^{\circ}<\theta <360^{\circ}.$ Me gusta utilizar identidades sencillas para responder a estas preguntas. Sabemos que $1+\tan^2\theta \equiv \sec^2\theta$ . Si $\tan\theta = \frac{12}{5}$ entonces vemos que:

$$\begin{eqnarray*} 1+\tan^2\theta &\equiv& \sec^2\theta \\ \\ 1+\left(\frac{12}{5}\right)^{\! 2} &=& \sec^2\theta \\ \\ \frac{169}{25} &=& \sec^2\theta \end{eqnarray*}$$ De ello se desprende que $\sec\theta = \pm \frac{13}{5}$ y por lo tanto $\cos\theta = \pm \frac{5}{13}$ . La pregunta es: ¿qué es, más o menos? Lamentablemente, no hay suficiente información en la pregunta.

Mirando el gráfico $y=\tan\theta$ vemos que $\tan \theta > 0$ si $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ o $180^{\circ} < \theta < 270^{\circ}$ . Esto significa que $\tan \theta = \frac{12}{5} > 0$ tiene soluciones en la gama $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ o $180^{\circ} < \theta < 270^{\circ}$ . Sin embargo, $\cos \theta > 0$ cuando $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ y $\cos \theta < 0$ cuando $180^{\circ} <\theta < 270^{\circ}$ .

Para concluir: $\cos\theta = \frac{5}{13}$ si $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ y $\cos\theta = -\frac{5}{13}$ si $180^{\circ} < \theta < 270^{\circ}$ .

Hay muchas maneras de encontrar $\sin \theta$ . Podría utilizar la identidad $1+\cot^2\theta \equiv \operatorname{cosec}^2\theta$ , señalando que $\cot$ es el recíproco de $\tan$ y $\tan\theta = \frac{12}{5} \iff \cot\theta = \frac{5}{12}$ . Como alternativa, puede utilizar su valor de $\cos\theta$ junto con la identidad $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ . Depende de ti; yo usaría la segunda.

Answer 5

La definición del seno, coseno y tangente de un ángulo $\theta$ consiste en encontrar un punto $(x,y)$ en el rayo que forma un ángulo $\theta$ con el positivo $x$ -eje. En su caso, el punto puede tomarse como $(5,12)$ . Entonces $\tan(\theta)=y/x=12/5$ correctamente. Pero la definición de seno y coseno es que $\sin(\theta)=y/r$ , $\cos(\theta)=x/r$ , donde $r$ es la distancia de su punto al origen, $r=\sqrt{x^2+y^2}$ , siempre se toma como algo positivo. Así que aquí hay que observar que la distancia de su punto al origen es $13$ y ya está listo.