El mapa de Alexander Whitney es un mapa en cadena

Question

Definir $a_p : \Delta_p \longrightarrow \Delta_n$ y $b_q : \Delta_q \longrightarrow \Delta_n$ para ser $\begin{cases}a_p(e_i) = e_i & p \leq n \\ b_q(e_i) = e_{n-q+i} & q \leq n \end{cases}$ .

Dado $\sigma \in C_n(X)$ consideramos $\sigma_p^1 := \sigma \circ a_p$ y $\sigma_q^2 := \sigma \circ b_q$ . Definir el mapa $\Delta : C(X) \longrightarrow C(X) \otimes C(X)$ para ser

$$\Delta \sigma_n = \sum\limits_{p+q=n} \sigma_p^1 \otimes \sigma_q^2$$

Como no he encontrado ninguna referencia de que este mapa sea un mapa en cadena he intentado probarlo por mi cuenta. Aquí es donde me quedé atascado.

Podemos ver que $$d \circ \Delta \sigma = \sum\limits_{p+q=n} \partial_p \sigma_p^1 \otimes \sigma_q^2 + (-1)^p \sigma_p^1 \otimes \partial_q \sigma_q^2$$

$$\Delta \circ \partial_n \sigma = \sum\limits_{p+q=n-1} (\partial_n\sigma)_p^1 \otimes (\partial_n\sigma)_q^2$$

Escribí el límite $\partial_n \sigma = \sum\limits_{i =0}^n (-1)^i \sigma \circ d_i$ donde $d_i$ es el mapa que "salta" $i$ .

Intento encontrar algunas relaciones en esta segunda suma, tratando de encontrar expresiones para $(\sigma \circ d_i)_p^1$ y $(\sigma \circ d_i)_q^2$ . No estoy seguro si esto es correcto pero lo que encontré fue

$$ \begin{cases}(\sigma \circ d_i)_p^1 = \sigma_p^1 & i > p \\ (\sigma \circ d_i)_p^1 = \sigma_{p+1}^1 \circ d_i & i \leq p \end{cases}, \hspace{0.2cm} \begin{cases}(\sigma \circ d_i)_q^2 = \sigma_q^2 & i < n-q \\ (\sigma \circ d_i)_q^2 = \sigma_{q+1}^2\circ d_{i-(n-q)+1} & i \geq n-q\end{cases}$$

Además, tenemos las relaciones $\sigma_p^1 = \sigma_{p+1}^1 \circ d_{p+1}$ y $\sigma_{q+1}^2 \circ d_0 = \sigma_q^2$ .

A partir de aquí no pude continuar ya que la división de las dos sumas en el índice sugerido por las relaciones no me llevó a ninguna parte, ni la simplificación ni la anulación de términos.

Cualquier ayuda sería apreciada, esta parece la manera directa de calcularlo pero no estoy seguro de si hay otra manera.

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Answer 1

Como dije en los comentarios, realmente puedes descomponer tu mapa como un compuesto $C(X)\to C(X\times X)\to C(X)\otimes C(X)$ . El primero es inducido por la diagonal $X\to X\times X$ por lo que es claramente un mapa en cadena; y el segundo es un caso especial de un mapa AW más general $C(X\times Y)\to C(X)\otimes C(Y)$ .

Y lo que es peor, señalando que $C(X) = C(\mathbb Z[Sing(X)])$ donde $Sing(X)_n = \hom(\Delta^n, X)$ es el conjunto simplicial singular de $X$ vemos que el segundo mapa es a su vez un caso especial del mapa AW más general $C(A\otimes B)\to C(A)\otimes C(B)$ , donde $A$ y $B$ son grupos abelianos simpliciales (y el producto tensorial es puntual, por lo que $(A\otimes B)_n = A_n\otimes B_n$ - debería comprobar que $\mathbb Z[Sing(X)]\otimes \mathbb Z[Sing(Y)]\cong \mathbb Z[Sing(X\times Y)]$ como ejercicio.

Este morfismo se describe, por ejemplo aquí se define por $a\otimes b \mapsto \sum_{p+q=n} \tilde d^pa \otimes d^qb$ , donde $\tilde d$ es la cara "frontal" $[p]\to [p+q], i\mapsto i$ y $d^q$ es la cara posterior, $[q]\to [n], j\mapsto p+j$ .

Todavía tenemos que comprobar que es un morfismo complejo. Nótese que $\partial (\tilde d^pa \otimes d^qb) = \sum_{i=0}^p (-1)^i(d_i\tilde d^pa)\otimes d^qb + (-1)^p \sum_{j=0}^q(-1)^j\tilde d^p a\otimes (d_jd^qb)$ .

Ahora $d_i\tilde d^p= \tilde d^{p-1}d_i$ y $d_jd^q = d^{q-1}d_{p+i}$ , por lo que esto parece $\sum_{i=0}^p(-1)^i (\tilde d^{p-1}d_ia)\otimes d^qb + (-1)^p \sum_{j=0}^q(-1)^j\tilde d^p a\otimes (d^{q-1}d_{p+j}b)$ y así por reindexación, $\sum_{i=0}^p (-1)^i(\tilde d^{p-1}d_ia)\otimes d^qb + \sum_{j=p}^{p+q}(-1)^j\tilde d^p a\otimes (d^{q-1}d_jb)$ .

Recuerda que también debes sumar estos $p+q=n$ .

Queremos comparar esto con $\sum_{i=0}^n\sum_{p+q=n-1} (-1)^i(\tilde d^pd_ia)\otimes (d^qd_ib)$ .

Para hacer esta comparación, hay que hacer dos cosas:

1- Ten en cuenta que como estás aterrizando en $\bigoplus_{p+q=n-1}A_p\otimes B_q$ basta con separar los términos y comparar los términos en una sola $A_p\otimes B_q$ para una pareja soltera $(p,q)$ cuya suma es $n-1$ . Para el primer término, eso significa que tendrás que mirar los términos que vienen de la pareja $(p+1,q)$ o $(p,q+1)$ porque son las únicas cuya diferencial tiene una coordenada no nula en $A_p\otimes B_q$ (nota que no tous el diferencial aterriza ahí, así que hay que tener un poco de cuidado)

2- Tendrás que utilizar algunas identidades simplificadas. A saber, por la forma en que se establecen las cosas, $\tilde d^p = \tilde d^pd_i$ para una amplia gama de $i$ (no todos los $i$ es importante averiguar con precisión cuál y pensar en los casos límite), y de forma similar $d^q d_j = d^q$ para una amplia gama de $j$ 's (mismo comentario)

Con estas dos cosas, puedes comparar efectivamente los dos diferenciales y demostrar que efectivamente se trata de un mapa en cadena. Si quieres más detalles puedo añadirlos, pero déjame parar aquí por ahora.