Me gustaría verificar una respuesta que tengo para la siguiente pregunta:
Dado que para una curva elíptica sobre un campo finito $E/\mathbb{F}_{q}$ tenemos un isomorfismo $$ E(\mathbb{F}_{q}) \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} $$ donde gcd $(q, m) = 1$ , demuestran que $q \equiv 1 \ \text{mod} \ m$ .
Mi solución es la siguiente:
Dejemos que $S \in E(\mathbb{F}_{q})$ sea un punto contenido en el primer factor invariante de la descomposición anterior, de modo que $S \in E[m]$ y que $T \in E[m]$ . Observamos que, dado que $E[m] \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ que $E[m] \subset E(\mathbb{F}_{q})$ . Esto implica (ver Silverman AEC Capítulo 3, Corolario 8.1.1) que la imagen $\mu_{m}$ del Weil $e_{m}$ -paración está contenida en $\mathbb{F}_{q}^{*}$ . En particular, tenemos \begin{align} e_{m}([q]S, T) &= e_{m}(S, T)^{q} \\ &= e_{m}(S, T) \end{align} de modo que por la no degeneración del emparejamiento de Weil tenemos $$ [q]S = S $$ para cualquier $S \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ por lo que la multiplicación por $q$ actúa como la identidad mod $m$ así que $q \equiv 1 \ \text{mod} \ m$ .
Se agradecerá cualquier corrección o forma de agilizar esta prueba.
