¿Cuál es una medida fiable de la proximidad a la singularidad de una matriz?

Question

Supongamos que tengo un problema cuya solución es una matriz singular. Me dan varias matrices que son todas bastante parecidas entre sí (es decir, las diferencias elemento a elemento son pequeñas) y trato de elegir la que más se acerque a la singularidad. En realidad, mi solución perfecta habría sido singular y estoy tratando de encontrar la más cercana a ella.

¿Cuál es la mejor manera de medirlo? Sé que comparar los determinantes no es una buena idea. Pensé que el número de condición sería una buena medida, pero cuando lo probé en un conjunto de matrices de ejemplo (donde el determinante de una era un cero absoluto) y la que tenía el mayor número de condición no terminó con el mayor número de condición.

Sospecho que la razón por la que el número de condición no me da una buena medida son los errores de redondeo en los valores singulares. Entonces, ¿hay alguna forma mejor de averiguar esto?

EDITAR - Por si a alguien le interesa el problema en el que estoy trabajando. Estoy usando determinantes de Cayley-Menger. Que el determinante sea cero indicaría que la matriz es un matriz de distancia .

Answer 1

Yo utilizaría la Eliminación Gaussiana con Pivoteo Completo (GECP). Si la matriz es singular, finalmente la norma infinita de la matriz residual restante será menor que alguna tolerancia especificada por el usuario. Si la tolerancia especificada por el usuario se reduce, el rango de la matriz puede disminuir. Aplicando GECP a todas las matrices y reduciendo sucesivamente la tolerancia especificada por el usuario, la matriz superviviente con el rango más bajo sería la ganadora.

Advertencia. Una matriz tiene el rango que se merece. Si las entradas de una matriz tienen ruido o están evaluadas de forma imprecisa, el ruido y/o las imprecisiones pueden dominar la matriz residual y difuminar el proceso de determinación del rango de la matriz.