¿Existe un difeomorfismo en $\mathbb{R^2}$ que aplana la frontera de un conjunto compacto en un punto?

Question

Dado un subconjunto compacto de $\mathbb{R^2}$ con ${C^2}$ frontera $S$ y un punto $x \in S$ ¿se puede encontrar un difeomorfismo $f$ de $\mathbb{R^2}$ a $\mathbb{R^2}$ para lo cual $f(x) = x$ la imagen $f(S)$ es un ${C^2}$ y tal que, en una vecindad de $f(x)$ la curva $f(S)$ coincide con la línea tangente de $x$ en $S$ ?

Creo que esto es posible, pero todavía no tengo idea de cómo construir tal función $f$ .

Answer 1

Si por difeomorfismo te refieres a un mapa suave con inversa suave la respuesta es no en general. Si se puede encontrar un difeomorfismo de este tipo se deduce que $S$ es realmente suave en una vecindad de $x$ no sólo $\mathcal C^2$ ya que ha construido un gráfico de submanifold local suave de $S$ cerca de $x$ .

Si por el contrario se conforma con un $\mathcal C^2$ mapa que tiene un $\mathcal C^2$ inversa la respuesta es sí: Se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que $x = 0$ y elegir algunos $\epsilon > 0$ tal que $B_\epsilon(0) \cap S$ es un gráfico de algún $\mathcal C^2$ función $f$ . Elija un $\mathcal C^2$ función $g$ que coincide con $f$ en algunos intervalos $]-\delta,\delta[$ y considerar su gráfico $\{(g(y),y) \in \mathbb R^2 | y \in \mathbb R\}$ . A continuación, puede definir la función que desee mediante $\phi(x,y) = (g(y) + r,y) \mapsto (r,y)$ . Que esto es realmente un $\mathcal C^2$ mapa con $\mathcal C^2$ inversa está claro ya que $h(x,y) := (g(y) + x,y)$ define dicho mapa y $\phi = h^{-1}$ .

Answer 2

Por un difeomorfismo, me refiero a una función $f$ para el que tanto $f$ y $f^{-1}$ son diferenciables (pueden ser aproximados por un mapa lineal).

Creo que su respuesta va en la dirección correcta. Es que la función $\phi$ puede afectar a la frontera del otro lado o lados. Tendremos que definir $\phi$ ser mapa de identidad fuera de una región, posiblemente $B_\epsilon(0)$ y elegir una función $r$ (en lugar de una constante $r$ ) para que $\phi$ sigue siendo $C^2$ . Gracias.