Hay muchos pasos:
Paso 1, seleccione un estado $\Psi$ .
Paso 2, preparar muchos sistemas en el mismo estado $\Psi$
Paso 3, seleccione dos operadores A y B
Paso 4a, para algunos de los sistemas preparados en el estado $\Psi$ , medida A
Paso 4b, para algunos de los sistemas preparados en el estado $\Psi$ , medida B
Ahora bien, si se analizan los resultados, suponiendo mediciones fuertes (no débiles), entonces cada vez que se mide A, se obtiene un valor propio de A, y cada vez que se mide B se obtiene un valor propio de B. Cada valor propio tiene una probabilidad (que es igual a la relación de la norma cuadrada de la proyección sobre el espacio propio dividida por la norma cuadrada antes de proyectarse sobre el espacio propio). Así que sus valores propios de A provienen de una distribución de probabilidad que suele tener una media $\langle A\rangle=\langle \Psi|A|\Psi\rangle $ y una desviación estándar $\Delta A=\sqrt{\langle \Psi|\left(A^2-\langle \Psi|A|\Psi\rangle^2\right)|\Psi\rangle}$ . Y sus valores propios de B provienen de una distribución de probabilidad que suele tener una media $\langle B\rangle=\langle \Psi|B|\Psi\rangle $ y una desviación estándar $\Delta B=\sqrt{\langle \Psi|\left(B^2-\langle \Psi|B|\Psi\rangle^2\right)|\Psi\rangle}$ . Nunca se obtienen esos datos de una medición, ni siquiera de un grupo entero, pero de los pasos 4a y 4b se obtiene una media y una desviación estándar de la muestra, y para una muestra grande es probable que se acerquen mucho a la media y a la desviación estándar teóricas.
El principio de incertidumbre dice que en el paso 1 (cuando se selecciona $\Psi$ ) podría seleccionar un $\Psi$ que da una pequeña $\Delta A$ o un $\Psi$ que da una pequeña $\Delta B$ (de hecho si $\Psi$ es un estado propio de A, entonces $\Delta A=0$ , lo mismo para $B$ ). Sin embargo, $$\Delta A \Delta B \geq \left|\frac{\langle AB-BA\rangle}{2i}\right|=\left|\frac{\langle\Psi| AB-BA |\Psi\rangle}{2i}\right|,$$
Así que, en particular, los operadores no conmutantes a menudo (es decir, si el valor de la expectativa de su conmutador no se desvanece) tienen un compromiso, si el estado en cuestión tiene una desviación estándar realmente baja para un operador, entonces el estado en cuestión debe tener una desviación estándar más alta para el otro.
Si los operadores conmutan, no sólo no hay un límite conjunto a lo bajo que pueden llegar las desviaciones estándar, sino que la medición de la otra variable te mantiene en el mismo eigespacio del otro operador. Sin embargo, esto es un hecho completamente diferente, ya que el principio de incertidumbre trata de las desviaciones estándar de dos distribuciones de probabilidad para dos observables aplicadas a un mismo estado, y por lo tanto se aplica aproximadamente a las desviaciones estándar de la muestra generadas a partir de estados idénticamente preparados.
Si tiene un sistema preparado en el estado $\Psi$ y se mide A en él, entonces generalmente hay que utilizar un sistema diferente también preparado en $\Psi$ para medir B. Esto se debe a que cuando se mide A en un sistema se proyecta el estado en un eigespacio de A, lo que generalmente cambia el estado. Y como la distribución de probabilidad para B se basa en el estado, ahora que tienes un estado diferente tendrás una distribución de probabilidad diferente para B. No puedes averiguar $\Delta B=\sqrt{\langle \Psi|\left(B^2-\langle \Psi|B|\Psi\rangle^2\right)|\Psi\rangle}$ si no tienes $\Psi$ y sólo tienen $\Psi$ proyectada sobre un eigespacio de A.
